Question

Rezolvați sistemul de ecuație x2+y2=25 xy=-12

Answer 1

Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым
х²+2ху+у²=1
или
(х+у)²=1
Получим две системы
1)                    2)
х+у=1      или  х+у=-1
ху=-12            ху=-12

Выражаем у из первого уравнения и подставим во второе
1)                          2)
у=1-х                    у=-1-х
х·(1-х)=-12               х·(-1-х)=-12

х²-х-12=0                 х²+х-12=0
D=49                        D=49
х₁=(1-7)/2=-3           х₃=(-1-7)/2=-4
x₂=(1+7)/2=4            x₄=(-1+7)/2=3

у₁=1-х₁=1-(-3)=4      у₃=-1-х₃=-1-(-4)=3
у₂=1-х₂=1-4=-3         у₄=-1-х₄=-1-3=-4

Ответ. (-3;4) (4;-3)  (-4;3) (3;-4)

Answer 2

Pentru a rezolva sistemul de ecuații x^2 + y^2 = 25 și xy = -12, putem folosi metoda substituției sau metoda eliminării.

Metoda substituției: 1. Din a doua ecuație, putem obține y în funcție de x, înlocuind y în ecuația 1. xy = -12 => y = -12/x 2. Înlocuim y în ecuația 1: x^2 + (-12/x)^2 = 25 x^2 + 144/x^2 = 25 3. Multiplicăm întreaga ecuație cu x^2 pentru a scăpa de fracții: x^4 + 144 = 25x^2 4. Rearanjăm ecuația pentru a obține o ecuație de gradul 4: x^4 - 25x^2 + 144 = 0 5. Putem folosi o metodă de rezolvare a ecuațiilor de gradul 4 pentru a găsi valorile posibile pentru x. Aceasta poate fi o metodă destul de complexă și lungă, deci vom folosi metoda eliminării.

Metoda eliminării: 1. Din a doua ecuație, putem obține y în funcție de x: xy = -12 => y = -12/x 2. Înlocuim y în ecuația 1: x^2 + (-12/x)^2 = 25 x^2 + 144/x^2 = 25 3. Multiplicăm întreaga ecuație cu x^2 pentru a scăpa de fracții: x^4 + 144 = 25x^2 4. Rearanjăm ecuația pentru a obține o ecuație de gradul 4: x^4 - 25x^2 + 144 = 0 5. Putem observa că aceasta este o ecuație de gradul 4. Putem face o substituție pentru a obține o ecuație de gradul 2. Fie x^2 = t: t^2 - 25t + 144 = 0 6. Putem rezolva această ecuație de gradul 2 folosind formula generală: t = (-(-25) ± √((-25)^2 - 4*1*144)) / (2*1) t = (25 ± √(625 - 576)) / 2 t = (25 ± √49) / 2 t1 = (25 + 7) / 2 = 16 t2 = (25 - 7) / 2 = 9 7. Din t = x^2, putem găsi valorile posibile pentru x: x1 = √16 = 4 x2 = √9 = 3 8. Înlocuim valorile lui x în a doua ecuație pentru a obține valorile corespunzătoare ale lui y: Pentru x1 = 4, y1 = -12/4 = -3 Pentru x2 = 3, y2 = -12/3 = -4

Astfel, soluțiile sistemului de ecuații sunt: (4, -3) și (3, -4).