Question

На каждой стороне параллелограмма во внешнюю сторону построен квадрат. Докажите,что центры этих квадратов являются вершинами квадрата

Answer 1

Обозначим буквами P, Q и R центры квадратов, построенных на сторонах DA, AB и BC параллелограмма. Острый угол  при вершине A обозначим α.
∠ PAQ = 1/2∠DAM +1/2∠BAN+ α = 90º+α  ∠ RBQ=360º-(180º-α) - 90º=180º- 90º+α=90º+α .∠ PAQ =∠ RBQ
QB=AQ, BR=AP как половины равных диагоналей, а значит,Δ PAQ = Δ RBQ.
PQ=RQ.
Стороны AQ и BQ этих треугольников перпендикулярны, поэтому PQ ⊥ QR.
Так же доказывается перпендикулярность других углов четырехугольника с равными сторонами.Центры построенных на сторонах параллелограмма квадратов являются вершинами квадрата.

Answer 2

Вы хотите, чтобы я ответил подробно на вопрос: На каждой стороне параллелограмма во внешнюю сторону построен квадрат. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами квадрата.

Хорошо, я попробую помочь вам. Вот один из возможных способов решения этой задачи:

1. Обозначим центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма ABCD, как E, F, G и H соответственно. Тогда EFHG - четырехугольник, у которого все стороны равны, так как они являются половинами диагоналей квадратов. 2. Докажем, что углы четырехугольника EFHG прямые. Для этого рассмотрим треугольник ABE. Так как AB = AE и BE = BA, то треугольник ABE - равнобедренный, и углы при основании равны. То есть, ∠ABE = ∠BAE. Но ∠ABE + ∠BAE = 90°, так как они являются смежными углами при перпендикулярных сторонах квадрата ABFE. Следовательно, ∠ABE = ∠BAE = 45°. Тогда ∠AEF = 90° - ∠BAE = 90° - 45° = 45°. Аналогично, ∠BEF = 45°. Тогда ∠AEF + ∠BEF = 45° + 45° = 90°. Значит, EF ⊥ AB. По той же логике можно доказать, что EF ⊥ CD, FG ⊥ BC и HG ⊥ AD. Тогда EF ⊥ HG и FG ⊥ EH, то есть противоположные стороны четырехугольника EFHG перпендикулярны. 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что EFHG - квадрат, так как он является четырехугольником, у которого все стороны равны и все углы прямые. Значит, центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма ABCD, являются вершинами квадрата.

Надеюсь, это было полезно для вас. Если вы хотите узнать больше о геометрии, вы можете посмотреть некоторые из этих источников .