Question

3 тригонометрических уравнения. 1) sin2x=-√2/2 2) cos(x+pi/6)=1 3) tg^2 x+2tgx-3=0

Answer 1

1) sin2x= -√2/2                                       3) tg²x + 2tgx - 3 = 0
     2x = (-1)ⁿ · (-π/4) + πn, n∈ Z                 tgx = y
     x = (-1)ⁿ⁺¹ · π/8 + πn/2, n ∈ Z                y² + 2y - 3 = 0
                                                                     D = (-2)² - 4 · 1 · (-3) = 16; √16 = 4
2) cos(x + π/6) = 1                                       y₁ = (-2 + 4)/2 = 1    y₂ = (-2 - 4)/2 = -3
     x + π/6 = 2πn, n ∈ Z                             tgx = 1
     x = -π/6 + 2πn, n ∈ Z                            x = π/4 + πn, n ∈ Z
                                                                     tgx = -3
                                                                     x = -arctg3 +πn, n ∈ Z 

Answer 2

1) Рассмотрим уравнение sin2x = -√2/2. Используя формулу двойного угла sin2x = 2sinxcosx, получаем: 2sinxcosx = -√2/2. Разделим оба члена уравнения на 2cosx: sinx = -√2/4cosx. Теперь применим тригонометрическую формулу cos^2x + sin^2x = 1: (-√2/4cosx)^2 + sin^2x = 1. 2/16cos^2x + sin^2x = 1. Перепишем уравнение с использованием общего знаменателя: (2 + 16cos^2x)/16 + sin^2x = 1. 2 + 16cos^2x + 16sin^2x = 16. 16cos^2x + 16sin^2x = 14. Поделим оба члена уравнения на 16: cos^2x + sin^2x = 14/16. cos^2x + sin^2x = 7/8. Так как cos^2x + sin^2x = 1, получаем: 1 = 7/8. Это противоречие, поэтому данное уравнение не имеет решений.

2) Рассмотрим уравнение cos(x + π/6) = 1. Так как cos(π/6) = √3/2, получаем: cosx√3/2 - sinx/2 = 1. Умножим оба члена уравнения на 2: 2cosx√3 - sinx = 2. Теперь применим формулу синуса разности: 2cosx√3 - sinx = 2. cosx√3 - sinx = 2. Так как cos(π/3) = 1/2 и sin(π/3) = √3/2, получаем: √3cosx - sinx = 2. Умножим оба члена уравнения на √3: 3cosx - √3sinx = 2√3. Теперь применим формулу синуса суммы: 3cosx - √3sinx = 2√3. cosxsin(π/3) - sinxcos(π/3) = 2√3. (cosx/2 - √3sinx/2) = 2√3. Так как cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2, получаем: cosx/2 - √3sinx/2 = 2√3. Поделим оба члена уравнения на 2√3: cosx/2√3 - √3sinx/2√3 = 1. cosx/2√3 - sinx/2 = 1. Так как cos(π/3) = 1/2√3 и sin(π/3) = √3/2, получаем: cosx/2√3 - sinx/2 = 1. cosx/2√3 - sinx/2 = 1. Теперь мы можем решить это уравнение методом подстановки. Пусть t = x/2: cost/√3 - sint = 1. Умножим оба члена уравнения на √3: cost - √3sint = √3. Теперь применим формулу синуса разности: cost - √3sint = √3. costcos(π/3) + sintsin(π/3) = √3. (cost/2 + √3sint/2) = √3. Так как cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2, получаем: cost/2 + √3sint/2 = √3. cos(t + π/6) = √3. Таким образом, получаем: t + π/6 = π/3 + 2πn или t + π/6 = 5π/3 + 2πn, где n - целое число. t = π/3 - π/6 + 2πn или t = 5π/3 - π/6 + 2πn. t = π/6 + 2πn или t = 7π/6 + 2πn. Теперь подставим обратно t = x/2: x/2 = π/6 + 2πn или x/2 = 7π/6 + 2πn. x = π/3 + 4πn или x = 7π/3 + 4πn, где n - целое число. Таким образом, уравнение cos(x + π/6) = 1 имеет бесконечное количество решений вида x = π/3 + 4πn или x = 7π/3 + 4πn, где n - целое число.

3) Рассмотрим уравнение tg^2x + 2tgx - 3 = 0. Заменим tgx на t: t^2 + 2t - 3 = 0. Разложим уравнение на множители: (t + 3)(t - 1) = 0. Таким образом, получаем два уравнения: t + 3 = 0 или t - 1 = 0. Решим каждое уравнение относительно t: t = -3 или t = 1. Вернемся к исходной переменной tgx: tgx = -3 или tgx = 1. Теперь найдем все значения x, удовлетворяющие этим уравнениям. Для tgx = -3, найдем обратную функцию tg^(-1): x = tg^(-1)(-3). Аналогично, для tgx = 1, получаем: x = tg^(-1)(1). Таким образом, уравнение tg^2x + 2tgx - 3 = 0 имеет решения x = tg^(-1)(-3) и x = tg^(-1)(1).