Question

Помогите пожалуйста решить уравнение: 3 log2 (x-1/2)<6

Answer 1

3*log₂(x-1/2)<6
log₂(x-1/2)<2, 2=log₂2²=log₂4
log₂(x-1/2)<log₂4, 2>1, знак неравенства не меняем
{x-1/2>0        x>0,5
x-1/2<4        x<4,5
ответ: х∈(0,5; 4,5)

Answer 2

Для решения данного уравнения, нужно использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования.

Начнем с приведения уравнения к более простому виду. Сначала, выразим логарифм с основанием 2 через натуральный логарифм: log2(x) = ln(x)/ln(2).

Теперь, заменим 3log2(x-1/2) на 3ln(x-1/2)/ln(2):

3ln(x-1/2)/ln(2) < 6.

Умножим обе части неравенства на ln(2), чтобы избавиться от знаменателя:

3ln(x-1/2) < 6ln(2).

Теперь, разделим обе части неравенства на 3:

ln(x-1/2) < 2ln(2).

Теперь, применим экспоненциальную функцию к обеим частям неравенства, чтобы избавиться от логарифма:

e^(ln(x-1/2)) < e^(2ln(2)).

e^(ln(x-1/2)) = x-1/2, тогда:

x-1/2 < e^(2ln(2)).

Вычислим e^(2ln(2)):

e^(2ln(2)) = (e^(ln(2)))^2 = 2^2 = 4.

Теперь, добавим 1/2 ко всем частям неравенства:

x-1/2+1/2 < 4+1/2.

x < 4+1/2.

x < 9/2.

Таким образом, решением данного уравнения является интервал (-∞, 9/2).