Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 y=2x

Answer 1

Y=x²;y=2x;
x²=2x;⇒
x²-2x=0;⇒x(x-2)=0;
x₁=0;x₂=2;

S=[tex] \int\limits^2_0 {( x^{2} -2x)} \, dx =x³/3-2x²/2=x³/3-x²;(в интервала от0до2)⇒
S=|2³/3-2²-0-0|=|8/3-4|=|(8-12)/3|=4/3=1¹/₃;

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = 2x, нам нужно найти точки пересечения этих двух кривых. Затем мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти площадь между этими кривыми на заданном интервале.

Нахождение точек пересечения

Для начала найдем точки пересечения кривых y = x^2 и y = 2x. Чтобы это сделать, приравняем эти два уравнения и решим полученное квадратное уравнение:

x^2 = 2x

Перенесем все члены влево:

x^2 - 2x = 0

Теперь факторизуем это уравнение:

x(x - 2) = 0

Отсюда получаем два решения:

x = 0 и x = 2.

Вычисление площади

Теперь мы знаем, что кривые y = x^2 и y = 2x пересекаются в точках (0, 0) и (2, 4). Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, мы будем использовать определенный интеграл на интервале от x = 0 до x = 2.

Площадь фигуры можно вычислить с помощью следующего интеграла:

S = ∫[0, 2] (y2 - y1) dx

где y1 и y2 - это уравнения кривых, ограничивающих фигуру.

В данном случае, y1 = x^2 и y2 = 2x. Подставим эти значения в формулу:

S = ∫[0, 2] (2x - x^2) dx

Вычислим этот определенный интеграл:

**S = [x^2 - (