Question

Cos7x/sin2x=1 подайте идею, как решить?

Answer 1

Cos7x-sin2x=0
cos7x- cos(π/2 -x) =2sin ((7x+π/2-x)/2)*(sin(π/2-x-7x)*1/2)=0

sin (3x+π/4)=0
sin (-4x+π/4)=0

3x+π/4=πk  x=(k-1/4)π/3   k∈Z
-4x+π/4=πk   x=π/16-πk/4

Answer 2

Для решения уравнения cos(7x)/sin(2x) = 1, мы можем использовать алгебраические и тригонометрические свойства, чтобы привести его к более простому виду и найти значения x, удовлетворяющие уравнению.

Приведение уравнения к общему знаменателю

Для начала, мы можем привести уравнение к общему знаменателю, умножив обе стороны на sin(2x):

cos(7x)/sin(2x) * sin(2x) = 1 * sin(2x)

После упрощения получим:

cos(7x) = sin(2x)

Использование тригонометрических тождеств

Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования уравнения. В данном случае, мы можем использовать тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

cos(7x) = 2sin(x)cos(x)

Разложение cos(7x)

Далее, мы можем разложить cos(7x) с помощью формулы разложения cos(2x):

cos(7x) = cos(6x + x) = cos(6x)cos(x) - sin(6x)sin(x)

Подстановка разложения в уравнение

Подставим разложение cos(7x) в уравнение:

cos(6x)cos(x) - sin(6x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)

Упрощение и приведение подобных слагаемых

Упростим уравнение, сгруппировав подобные слагаемые:

cos(6x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) - sin(6x)sin(x) = 0

Факторизация и решение

Теперь мы можем факторизовать уравнение и решить его. Обратите внимание, что здесь мы не можем просто разделить обе стороны на cos(x), так как это может привести к потере некоторых решений. Вместо этого, мы будем рассматривать два случая:

1. Если cos(x) = 0, то уравнение принимает вид:

cos(6x) - 2sin(x) = 0

2. Если cos(x) ≠ 0, то мы можем разделить обе стороны на cos(x) и получить:

cos(6x) - 2sin(x) - sin(6x)tan(x) = 0

Решение первого случая

Для первого случая, когда cos(x) = 0, мы можем решить уравнение следующим образом:

cos(6x) - 2sin(x) = 0

cos(6x) = 2sin(x)

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы выразить sin(x) через cos(x):

cos(6x) = 2sin(x) cos(6x) = 2 * sqrt(1 - cos^2(x))

Теперь мы можем решить полученное уравнение относительно cos(x) и найти его значения.

Решение второго случая

Для второго случая, когда cos(x) ≠ 0, мы можем разделить обе стороны уравнения на cos(x) и получить:

cos(6x)/cos(x) - 2sin(x)/cos(x) - sin(6x)tan(x)/cos(x) = 0

cos(6x)/cos(x) - 2tan(x) - sin(6x)tan(x)/cos(x) = 0

Теперь мы можем решить полученное уравнение относительно tan(x) и найти его значения.

Заключение

Таким образом, мы можем решить уравнение cos(7x)/sin(2x) = 1, приведя его к более простому виду, используя тригонометрические тождества и разложение cos(7x). Затем мы можем решить полученные уравнения относительно cos(x) и tan(x), чтобы найти значения x, удовлетворяющие исходному уравнению.