Question

Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие произойдет не менее 20 и не более 30 раз.

Answer 1

Формула Бернулли: $P_{n} ^{m}=C_{n} ^{m}* p^{m}*q^{n-m}$ - вероятность того, что в n испытаниях произойдет m событий, p - вероятность наступления события, q=1-p - вер не наступления события. $C_{n} ^{m}= \frac{n!}{m!(n-m)!}$.   у нас $P_{100}^{20+i}= \frac{100!}{(20+i)!*(80-i)!}*(0,2)^{20+i}*(0,8)^{80-i}$ где i от 0 до 10.
у нас среди 100 испытаний событие произойдет 20 раз или 21 раз или ... 29 раз или 30 раз. Эти события несовместные. По теореме несовместных событий $P_{100}(20 \leq m \leq 30)=P_{100} ^{20}+P_{100}^{21}+...+P_{100} ^{29}+P_{100} ^{30}$=0,0993+0,0946+0,0849+0,07198+0,0577+0,0439+0,0316+0,0217+0,0141+0,0088+0,0052=0,534 приблизительно. Я считала на математическом калькуляторе, там есть $C_{n} ^{m}$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний с фиксированной вероятностью успеха.

В данном случае, вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Мы хотим найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие произойдет не менее 20 и не более 30 раз.

Для расчета этой вероятности, нам понадобится использовать формулу биномиального распределения:

P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где: P(X=k) - вероятность того, что событие произойдет ровно k раз C(n,k) - количество сочетаний из n по k p - вероятность успеха в каждом испытании n - общее количество испытаний

В нашем случае, мы хотим найти вероятность события произойдет не менее 20 и не более 30 раз, поэтому нам нужно сложить вероятности для k от 20 до 30:

P(X>=20) = P(X=20) + P(X=21) + ... + P(X=30)

Давайте рассчитаем эту вероятность, используя соответствующие значения в формуле биномиального распределения.