Question

У Тимура появились монеты в 1,2,3 и 5 тугриков, по одной каждого достоинства, которые, если они настоящие, весят соответственно 1,2,3 и 5г каждая. Он узнал, что среди них есть ровно одна не настоящая, которая отличается весом от настоящей (но не известно, тяжелее она или легче). Каким образом Тимур сможет за два взвешивания на чашечных весах без гирь установить, какая из монет фальшивая?

Answer 1

На одну чашу кладем 5, на другую 2 и 3.
1) Если они равны по весу, то фальшивая 1.
Тогда на одну чашу кладем 1 и 2, на другую 3.
Таким образом, мы узнаем, легче она или тяжелее.
2) Если 5 легче, чем 2+3, то или 5 легче, или 2 тяж., или 3 тяж.
Опять сравниваем 1+2 и 3. Если 1+2 = 3, то 5 легче.
Если 1+2 < 3, то 3 тяжелее. Если 1+2 > 3, то 2 тяжелее.

Answer 2

Для того чтобы установить, какая из монет фальшивая, Тимур может поступить следующим образом:

1. В первом взвешивании он кладет на чашку весов монеты весом 1г и 2г. Если одна из них легче, чем другая, то фальшивая монета - та, которая легче. Если они весят одинаково, то фальшивая монета - та, которая не участвовала в первом взвешивании.

2. Если в первом взвешивании он выявил, что одна из монет легче, чем другая, то во втором взвешивании он кладет на чашку весов фальшивую монету и одну из настоящих монет весом 3г. Если фальшивая монета легче, то она фальшивая. Если она тяжелее, то она также фальшивая, так как настоящая монета весом 3г должна быть тяжелее.

3. Если в первом взвешивании обе монеты весят одинаково, то во втором взвешивании он кладет на чашку весов одну из настоящих монет весом 5г. Если фальшивая монета легче, то она фальшивая. Если она тяжелее, то она также фальшивая, так как настоящая монета весом 5г должна быть тяжелее.

Таким образом, Тимур сможет определить, какая из монет фальшивая за два взвешивания.