Question

Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=x2+4 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

Answer 1

Одна общая точка - один корень.
$x^{2} +4=kx$
$x^{2} -kx+4=0$
Квадратное уравнение имеет один корень тогда, когда дискриминант равен 0.
$D=k^{2}-16=0$
$k=4, k=-4$
Получаем две прямые: y = 4x, y = -4x

Answer 2

Для того чтобы найти все значения k, при которых прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком функции y = x^2 + 4, мы должны найти точки пересечения этих двух графиков.

Давайте начнем, подставив уравнение прямой y = kx в уравнение функции y = x^2 + 4 и решим полученное уравнение относительно x.

Заменяем y в уравнении функции: kx = x^2 + 4

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду: x^2 - kx + 4 = 0

Уравнение выше представляет квадратное уравнение относительно x. Чтобы найти значения x, при которых это уравнение имеет ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения равен: D = b^2 - 4ac

В нашем случае: a = 1, b = -k и c = 4

Подставляем значения в формулу дискриминанта: D = (-k)^2 - 4 * 1 * 4 D = k^2 - 16

Так как мы хотим, чтобы дискриминант был равен нулю, решим уравнение: k^2 - 16 = 0

Решаем это квадратное уравнение: (k - 4)(k + 4) = 0

Отсюда получаем два значения k: k = 4 и k = -4

Теперь, когда мы нашли значения k, давайте построим график функции y = x^2 + 4 и прямых y = 4x и y = -4x, чтобы увидеть их точку пересечения.

Построение графиков

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y1 = x ** 2 + 4
y2 = 4 * x
y3 = -4 * x

plt.plot(x, y1, label='y = x^2 + 4')
plt.plot(x, y2, label='y = 4x')
plt.plot(x, y3, label='y = -4x')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графики функций')
plt.grid(True)
plt.show()

График функции y = x^2 + 4 представляет параболу, открывшуюся вверх. Прямая y = 4x имеет положительный наклон и пересекает параболу в одной точке. Прямая y = -4x имеет отрицательный наклон и также пересекает параболу в одной точке.

Таким образом, найденные значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком функции y = x^2 + 4 ровно одну общую точку, равны k = 4 и k = -4.