Question

8. Найти косинус угла между плоскостями 7x – 4y – 4z + 5 = 0 и 8x – 4y + z + 15 =0.

Answer 1

Угол между плоскостями 
7x - 4y - 4z + 5 = 0 и 
6x - 4y + z + 15 = 0
Косинус угла между плоскостями определяется по формуле:
cos α = |A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂| /√(A₁² + B₁² + C₁²) √(A₂² + B₂² + C₂²)
cos α = |7·6 + (-4)·(-4) + (-4)·1| /√(7² + (-4)² + (-4)²)*√(6² + (-4)² + 1²) =
 |42 + 16 + (-4)| / √(49 + 16 + 16)* √(36 + 16 + 1) = 54 /(√81*√53) =
= 54 / √4293 = 6√53 / 53 ≈ 0,824163.

Answer 2

Для того чтобы найти косинус угла между двумя плоскостями, нам необходимо знать их нормальные векторы. В данном случае, уравнение первой плоскости можно представить в виде:

7x - 4y - 4z + 5 = 0

Или векторное уравнение:

(7, -4, -4) · (x, y, z) = -5

Здесь (7, -4, -4) - нормальный вектор первой плоскости.

Аналогично, уравнение второй плоскости:

8x - 4y + z + 15 = 0

Или векторное уравнение:

(8, -4, 1) · (x, y, z) = -15

Здесь (8, -4, 1) - нормальный вектор второй плоскости.

Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (a · b) / (|a| |b|)

Где a и b - нормальные векторы плоскостей.

Давайте вычислим косинус угла между векторами (7, -4, -4) и (8, -4, 1):

a = (7, -4, -4) b = (8, -4, 1)

|a| = sqrt(7^2 + (-4)^2 + (-4)^2) = sqrt(49 + 16 + 16) = sqrt(81) = 9 |b| = sqrt(8^2 + (-4)^2 + 1^2) = sqrt(64 + 16 + 1) = sqrt(81) = 9

(a · b) = 7*8 + (-4)*(-4) + (-4)*1 = 56 + 16 - 4 = 68

cos(θ) = (68) / (9 * 9) = 68 / 81

Таким образом, косинус угла между плоскостями 7x - 4y - 4z + 5 = 0 и 8x - 4y + z + 15 = 0 равен 68 / 81.