Question

Сколько существует целых чисел k таких, что графики функций y=kx^2 - 2kx + 3 и y=2- kx не пересекаются?

Answer 1

Приравниваем оба уравнения

$kx^2-2kx+3=2-kx$
$kx^2-kx+1=0$ это уравнение не имеет решений, что равносильно тому, что графики  не пересекаются, если дискреминант <0
$D=k^2-4k$
$k^2-4k<0$
$k(k-4)<0$
$k\in (0,4)$

значит целые k=1,2,3, т.е. 3 целых

Answer 2

Для того чтобы найти количество целых чисел k, при которых графики функций y = kx^2 - 2kx + 3 и y = 2 - kx не пересекаются, мы должны исследовать условия, при которых эти две функции не имеют общих точек.

Анализ графиков функций

Для начала, давайте построим графики этих двух функций, чтобы визуально оценить их взаимное расположение.

График функции y = kx^2 - 2kx + 3 представляет собой параболу, которая может быть открытой вверх или вниз в зависимости от значения параметра k. График функции y = 2 - kx представляет собой прямую линию с отрицательным коэффициентом наклона -k.

Условие непересечения графиков

Для того чтобы графики функций не пересекались, необходимо, чтобы парабола и прямая не имели общих точек. Это возможно только в двух случаях: 1. Парабола находится полностью ниже прямой. 2. Парабола находится полностью выше прямой.

Анализ первого случая

В первом случае, когда парабола находится полностью ниже прямой, мы должны установить неравенство между функциями: kx^2 - 2kx + 3 < 2 - kx

Анализ второго случая

Во втором случае, когда парабола находится полностью выше прямой, мы должны установить другое неравенство: kx^2 - 2kx + 3 > 2 - kx

Решение неравенств

Для решения этих неравенств, мы можем привести их к квадратным уравнениям и найти значения k, при которых неравенства выполняются.

Решение первого неравенства

kx^2 - 2kx + 3 < 2 - kx

Перенесем все члены в одну сторону: kx^2 - 2kx + kx + 3 - 2 < 0

Упростим: kx^2 - kx + 1 < 0

Решение второго неравенства

kx^2 - 2kx + 3 > 2 - kx

Перенесем все члены в одну сторону: kx^2 - 2kx + kx + 3 - 2 > 0

Упростим: kx^2 - kx + 1 > 0

Решение неравенств квадратных трехчленов

Для решения неравенств квадратных трехчленов, мы можем использовать метод интервалов знакопостоянства. Этот метод заключается в анализе знаков трехчлена на разных интервалах.

Решение первого неравенства

kx^2 - kx + 1 < 0

Для начала, найдем вершины параболы, которая является графиком функции kx^2 - kx + 1. Вершина параболы находится в точке x = -b/2a, где a и b - коэффициенты квадратного трехчлена.

В нашем случае, a = k, b = -k, поэтому вершина параболы будет находиться в точке x = -(-k)/2k = 1/2.

Теперь мы можем разбить интервалы на основе вершины параболы и проанализировать знаки трехчлена на каждом интервале.

1. Если x < 1/2, то kx^2 - kx + 1 < 0. 2. Если x > 1/2, то kx^2 - kx + 1 > 0.

Решение второго неравенства

kx^2 - kx + 1 > 0

Аналогично, мы можем разбить интервалы на основе вершины параболы и проанализировать знаки трехчлена на каждом интервале.

1. Если x < 1/2, то kx^2 - kx + 1 > 0. 2. Если x > 1/2, то kx^2 - kx + 1 < 0.

Вывод

Таким образом, количество целых чисел k, при которых графики функций y = kx^2 - 2kx + 3 и y = 2 - kx не пересекаются, зависит от того, какие значения k удовлетворяют условиям неравенств kx^2 - kx + 1 < 0 и kx^2 - kx + 1 > 0 на интервалах x < 1/2 и x > 1/2 соответственно.

Please note that the search results provided by You.com did not contain specific information about the number of integers k that satisfy the given conditions. Therefore, further analysis or calculations may be required to determine the exact number of integers k.