Question

Решите пожалуйста log4x-log16x=1/4

Answer 1

$\log_4x-\log_{16}x=\frac{1}{4},\\ \log_{2^2}x-\log_{2^4}x=\frac{1}{4},\\ \frac{1}{2}\log_{2}x-\frac{1}{4}\log_{2^4}x=\frac{1}{4},\\ \log_{2}x^{\frac{1}{2}}-\log_{2}x^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}\\ \log_{2} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{4},\\ \log_{2} x^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4},\\ x^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{4}}, \\ x=2.$

Answer 2

Для решения уравнения log4x - log16x = 1/4, мы можем использовать свойства логарифмов, такие как правило сокращения и правило разности.

Правило сокращения логарифмов

Если у нас есть логарифмы с одинаковым основанием, мы можем объединить их в один логарифм, используя правило сокращения: loga(x) - loga(y) = loga(x/y)

Правило разности логарифмов

Если у нас есть разность логарифмов с одинаковым основанием, мы можем записать ее в виде логарифма от частного: loga(x) - loga(y) = loga(x/y)

Применим эти правила к нашему уравнению:

log4x - log16x = 1/4

Сначала преобразуем основания логарифмов. Мы знаем, что 16 = 4^2, поэтому мы можем записать log16x как 2 * log4x:

log4x - 2 * log4x = 1/4

Вычислим левую часть уравнения:

log4x - 2 * log4x = log4x - log4x^2

По правилу сокращения, мы можем записать это как:

log4x - log4x^2 = log4(x / x^2)

Упростим дальше:

log4(x / x^2) = 1/4

Теперь мы можем преобразовать это уравнение в эквивалентное уравнение без логарифма. Для этого мы возведем обе стороны уравнения в 4, так как 4 является основанием логарифма:

4^(log4(x / x^2)) = 4^(1/4)

Сокращаем степень и основание логарифма:

x / x^2 = 4^(1/4)

Упростим левую часть уравнения:

1 / x = 4^(1/4)

Теперь возведем обе стороны уравнения в -1, чтобы избавиться от дроби:

x = (4^(1/4))^-1

Вычислим правую часть уравнения:

x = 4^(-1/4)

Теперь мы можем вычислить значение x:

x = 1/√4

Упрощаем:

x = 1/2

Таким образом, решением уравнения log4x - log16x = 1/4 является x = 1/2.