Question

(x-1)^2-(x+2)^2 <2 (x^2+4)

Answer 1

Перенесем все в левую часть с обратным знаком и раскроем скобки.X^2-2X+1-X^2-4X-4-2X^2-8<0.  Приведем подобные слагаемые.-2X^2-6X-11<0/ Поменяем все знаки и знак неравенства тоже. 2X^2+6X+11больше 0. Дискриминант этого квадратного уравнения меньше нуля, коэффициент при старшей степени больше нуля, это - парабола, ветвями вверх, она вся больше нуля, а значит, выполняется при любом Х. Х - любое число.

Answer 2

Давайте разберем данное выражение поэтапно.

Имеем выражение: (x-1)^2 - (x+2)^2 < 2 + (x^2 + 4)

Первым шагом можно раскрыть квадраты:

(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 4x + 4) < 2 + x^2 + 4

Упростим это выражение:

x^2 - 2x + 1 - x^2 - 4x - 4 < 2 + x^2 + 4

Сократим подобные слагаемые:

-6x - 3 < 2 + x^2 + 4

Теперь можно перенести все слагаемые на одну сторону:

x^2 + 6x + 3 - 2 - 4 < 0

x^2 + 6x - 3 < 0

Теперь нужно найти значения x, при которых это неравенство выполняется. Для этого можно воспользоваться графиком параболы.

График параболы

Парабола имеет форму "U" и открывается вверх, так как коэффициент при x^2 положительный (1).

Для нахождения корней параболы, решим уравнение x^2 + 6x - 3 = 0:

x = (-6 ± √(6^2 - 4*1*(-3))) / (2*1)

x = (-6 ± √(36 + 12)) / 2

x = (-6 ± √48) / 2

x = (-6 ± 4√3) / 2

x = -3 ± 2√3

Теперь рассмотрим интервалы между корнями и за ними:

1. x < -3 - 2√3: в этом интервале парабола будет находиться ниже оси x и, следовательно, неравенство x^2 + 6x - 3 < 0 будет выполняться.

2. -3 - 2√3 < x < -3 + 2√3: в этом интервале парабола будет находиться выше оси x и, следовательно, неравенство x^2 + 6x - 3 < 0 не будет выполняться.

3. x > -3 + 2√3: в этом интервале парабола снова будет находиться ниже оси x и, следовательно, неравенство x^2 + 6x - 3 < 0 будет выполняться.

Резюме

Таким образом, решением данного неравенства являются все значения x, которые попадают в интервал (-∞, -3 - 2√3) объединенный с интервалом (-3 + 2√3, +∞).

Ответ: x ∈ (-∞, -3 - 2√3) ∪ (-3 + 2√3, +∞)