Question

Если в четырехугольнике три угла являются прямыми, то его противолежащие стороны параллельны. Докажите.

Answer 1

Доказательство. 

Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. 
Δ AOD = Δ COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно, ∠ OBC = ∠ ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана. 

Теорема. 

Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. 



Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC. 
Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (∠ ADB = ∠ CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая). 
Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана. 

Теорема. 

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм. 



Доказательство. 

Пусть дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD и ∠ ABC = ∠ CDA. 



Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º, 
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA.= 360 º. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ DAB + #8736 ABC = 180 º и ∠ BCD + ∠ CDA = 180 º. 
Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.

Answer 2

Противолежащие стороны в четырехугольнике с тремя прямыми углами параллельны: доказательство

Чтобы доказать, что противолежащие стороны в четырехугольнике с тремя прямыми углами параллельны, мы можем использовать следующий аргумент:

Предположим, что у нас есть четырехугольник ABCD, в котором три угла (углы A, B и C) являются прямыми углами. Нам нужно доказать, что сторона AD параллельна стороне BC.

Доказательство:

1. Поскольку угол A является прямым углом, его мера равна 90 градусам. 2. Поскольку угол B является прямым углом, его мера также равна 90 градусам. 3. Поскольку угол C является прямым углом, его мера также равна 90 градусам. 4. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. 5. Учитывая, что углы A, B и C являются прямыми углами, их сумма равна 270 градусам (90 + 90 + 90). 6. Таким образом, угол D в четырехугольнике ABCD равен 360 градусам минус 270 градусов, то есть 90 градусам (360 - 270). 7. Угол D является прямым углом, так как сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. 8. Таким образом, угол D также равен 90 градусам. 9. Исходя из пунктов 1 и 8, углы A и D равны 90 градусам. 10. Если два угла в двух разных треугольниках равны, то эти треугольники подобны. 11. Таким образом, треугольники ABD и CBD подобны, так как углы A и D равны 90 градусам. 12. В подобных треугольниках соответствующие стороны параллельны. 13. Следовательно, сторона AD параллельна стороне BC в четырехугольнике ABCD.

Таким образом, мы доказали, что противолежащие стороны в четырехугольнике с тремя прямыми углами параллельны.

Примечание

Доказательство основано на геометрических принципах и свойствах треугольников. Если вам интересно узнать больше о геометрии или имеются дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!