Question

Найти наиб. и наим. значения функции y=cosx-√3 sinx на отрезке [-П;0]

Answer 1

Y`=-sinx-√3cosx=0
12(1/2sinx+√3/2cosx)=0
sin(x+π/3)=0
x+π/3=πn,n∈z
x=-π/3+πn,n∈z
x=-π/3∈[-π;0]
y(-π)=cos(-π)-√3sin(-π)=-1наим
y(-π/3)=cos(-π/3)-√3sin(-π/3)=1/2-√3*(-√3/2)=1/2+3/2=2 наиб
y(0)=cos0-√3sin0=1

Answer 2

Функция y = cos(x) - √3sin(x) задана на отрезке [-π, 0]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на данном отрезке, мы можем использовать производные и критические точки функции.

Нахождение производной функции:

Для начала найдем производную функции y = cos(x) - √3sin(x). Производная функции позволяет нам найти критические точки, где функция может достигать экстремумов.

Производная функции y = cos(x) - √3sin(x) равна: y' = -sin(x) - √3cos(x).

Нахождение критических точек:

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение: -sin(x) - √3cos(x) = 0.

Решая это уравнение, получим: tan(x) = -√3.

На отрезке [-π, 0] существует одна критическая точка, где tan(x) = -√3. Эта точка находится при x = -π/3.

Определение экстремумов:

Чтобы определить, является ли найденная критическая точка экстремумом, нужно проанализировать знак второй производной функции.

Вторая производная функции y = cos(x) - √3sin(x) равна: y'' = -cos(x) + √3sin(x).

Анализ знака второй производной:

Подставим найденную критическую точку x = -π/3 во вторую производную: y''(-π/3) = -cos(-π/3) + √3sin(-π/3).

Вычисляя это выражение, получаем: y''(-π/3) = -0.5 - (√3/2) = -1.5.

Так как вторая производная отрицательна, то найденная критическая точка является максимумом функции на отрезке [-π, 0].

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

Таким образом, наибольшее значение функции y = cos(x) - √3sin(x) на отрезке [-π, 0] достигается в точке x = -π/3, а наименьшее значение достигается в конце отрезка при x = 0.

Наибольшее значение функции: y(-π/3) = cos(-π/3) - √3sin(-π/3) = 0.5 + (√3/2).

Наименьшее значение функции: y(0) = cos(0) - √3sin(0) = 1 - 0 = 1.

Таким образом, наибольшее значение функции y = cos(x) - √3sin(x) на отрезке [-π, 0] равно 0.5 + (√3/2), а наименьшее значение равно 1.

Пожалуйста, обратите внимание, что найденные значения основаны на математических вычислениях и анализе производных функции.