Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1В1C1D1 АВ=5,AD=3,AA1=4. Найдите угол между прямыми BD1 и DC. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Во-первых, нарисуй прямоугольный параллепипед.
Во-вторых, проведи диагональ параллепипеда ВD1
В-третьих, рассматриваем прямые ВD1 и DC. Они являются скрещивающимися, так как лежат в разных плоскостях.
Однако, прямые АВ и DC параллельны друг другу, следовательно угол между BD1 и DC равен углу между BD1 и AB.
Значит, теперь нам нужно найти угол между прямыми BD1 и AB.
Для этого рассмотрим треугольник D1AB:
1) D1A перпендекулярно АВ по теореме о трех перпендекулярах
2) Так как нам даны числа, то находим длины сторон треугольника D1AB
D1A = 5
AB = 5
D1B = 5√2 (по теореме пифагора)
3) Теперь найдем угол между прямой ВD1 и АВ. Для этого используем синус. 
sinα = $\frac{AD₁}{D₁B}$
sinα = $\frac{5}{5 \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$ = 45⁰

Ответ: 45⁰

Answer 2

Для начала найдем длины отрезков BD1 и DC.

Так как ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, то AB || CD, AD || BC, AA1 || C1D1. Тогда треугольник ABD подобен треугольнику A1DC, так как соответствующие углы равны (по свойству параллельных прямых).

Таким образом, мы можем записать пропорцию: AB/AA1 = BD1/DC1 5/4 = BD1/DC1 BD1 = (5/4)*DC1

Также из условия задачи известно, что AD = 3. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD: AB^2 = AD^2 + BD^2 5^2 = 3^2 + BD^2 25 - 9 = BD^2 BD^2 = 16 BD = 4

Теперь мы можем найти DC: (5/4)*DC1 = 4 DC1 = 4*(4/5) DC1 = 3.2

Теперь найдем угол между прямыми BD1 и DC. Для этого воспользуемся теоремой косинусов: cos(угол) = (BD1^2 + DC1^2 - BD1^2) / (2*BD1*DC1) cos(угол) = (4^2 + 3.2^2 - 5^2) / (2*4*3.2) cos(угол) = (16 + 10.24 - 25) / (25.6) cos(угол) = 1.24 / 25.6 cos(угол) ≈ 0.0484

Теперь найдем угол: угол ≈ arccos(0.0484) угол ≈ 87.4 градусов

Итак, угол между прямыми BD1 и DC составляет приблизительно 87.4 градусов.