Question

Среди чисел первой тысячи найдите количество чисел, не делящихся ни на 3, ни на 5

Answer 1

Ищем сколько чисел ДЕЛЯТСЯ  на 3   Их 999/3 = 111 чисел.
Делятся на 5 -   999/5= 199 чисел.
И исключаем их из списка   999 - 111 - 199 = 689 чисел НЕ ДЕЛЯТСЯ НИ НА 3 НИ НА 5.
Ответ: 689 чисел.

Answer 2

Это задача о кругах Эйлера, которые используются для иллюстрации множеств и их операций. Пусть $A$ — множество чисел, делящихся на 3, а $B$ — множество чисел, делящихся на 5. Тогда нам нужно найти количество чисел, которые не принадлежат ни $A$, ни $B$, то есть $A^c \cap B^c$, где $A^c$ и $B^c$ — дополнения множеств $A$ и $B$.

Для решения этой задачи можно использовать формулу включений-исключений, которая говорит, что

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|,$$

где $|X|$ обозначает количество элементов в множестве $X$. Эта формула позволяет найти количество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$, то есть $A \cup B$. Затем, чтобы найти количество чисел, которые не принадлежат ни одному из них, нужно вычесть это число из 1000, так как всего чисел первой тысячи 1000.

Теперь осталось найти $|A|$, $|B|$ и $|A \cap B|$. Чтобы найти $|A|$, нужно поделить 1000 на 3 и округлить вниз, так как мы ищем только целые числа, которые делятся на 3. Получаем $|A| = \lfloor 1000 / 3 \rfloor = 333$. Аналогично, $|B| = \lfloor 1000 / 5 \rfloor = 200$. Чтобы найти $|A \cap B|$, нужно поделить 1000 на 15, так как 15 — наименьшее общее кратное 3 и 5. Получаем $|A \cap B| = \lfloor 1000 / 15 \rfloor = 66$.

Подставляя эти значения в формулу включений-исключений, получаем

$$|A \cup B| = 333 + 200 - 66 = 467.$$

Вычитая это число из 1000, получаем ответ:

$$|A^c \cap B^c| = 1000 - 467 = 533.$$

Ответ: среди чисел первой тысячи 533 числа не делятся ни на 3, ни на 5.

Более подробно об этой задаче и кругах Эйлера можно прочитать по ссылкам и .