Question

Вершинами четырёхугольника АВСД является точками А(9;3;-8;), В(7;5;-9;), С(-5;-1;0), Д(-11;-7;7). 1) Убедитесь, что четырёхугольник АВСД является трапецией. Определите, какие отрезки являются основниями трапеции. ( 7 баллов) 2) Выясните, является ли эта трапеция равнобокой. (2 балла) 3) Найдите концы серединного отрезка трапеции. (2 балла) 4) Найдите косинус угла между боковыми сторонами трапеции. Помогите решить!

Answer 1

1)Найдем координаты векторов - сторон четырехугольника и их длину (модули).
Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА.
АВ{-2;2;-1}, BC{-12;-6;9}, CD{-6;-6;7}, AD{-20;-10;15}.
Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.
|AB|=√(4+4+1)=3, |BC|=√(144+36+81)=√261, |CD|=√(36+36+49)=√121=11,
|AD|=√(400+100+225)=√725
В трапеции две стороны параллельны.
Векторы коллинеарны (параллельны), если отношения их координат равны.
Этому условию удовлетворяют векторы ВС и AD, так как
Xbc/Xad=-12/-20=0,6. Ybc/Yad=-6/-10=0,6. Zbc/Zad=9/15=0,6.
Векторы АВ и СD не параллельны.
Значит четырехугольник АВСD - трапеция с основаниями АD и ВС, причем большее основание AD.
2) Трапеция не равнобокая, так как стороны АВ и CD не равны.
3) Концы серединного отрезка (концы средней линии) трапеции - это середины векторов АВ и СD. Пусть это точки M и N соответственно.
Их координаты найдем по формуле:
x = (x1 + x2)/2, y = (y1 + y2)/2, z = (z1 + z2)/2:
M(8;4;-8,5);  N(-8;-4;3,5).
4)Угол α между векторами АВ и СD:
cosα=(Xab*Xcd+Yab*Ycd+Zab*Zcd)/|AB|*|CD|.
Cosα=(12+(-12)+(-7))/3*11=-7/33=-0,212. Возьмем положительное значение косинуса угла. α=77,76°.

Answer 2

1) Чтобы убедиться, что четырёхугольник АВСД является трапецией, нужно проверить, являются ли две стороны параллельными. Для этого можно вычислить угловой коэффициент каждой стороны и убедиться, что они равны.

Угловой коэффициент отрезка АВ: k(AB) = (5-3)/(7-9) = -2/-2 = 1 Угловой коэффициент отрезка СД: k(CD) = (-7+1)/(-11+5) = -6/-6 = 1

Таким образом, угловые коэффициенты отрезков АВ и СД равны, что означает, что стороны АВ и СД параллельны, и четырёхугольник АВСД является трапецией. Основаниями трапеции будут отрезки АВ и СД.

2) Чтобы определить, является ли трапеция равнобокой, нужно сравнить длины оснований и боковых сторон. Длина отрезка АВ: √((7-9)^2 + (5-3)^2 + (-9-(-8))^2) = √4 + 4 + 1 = √9 = 3 Длина отрезка СД: √((-11-(-5))^2 + (-7-(-1))^2 + (7-0)^2) = √36 + 36 + 49 = √121 = 11

Таким образом, длины оснований не равны, поэтому трапеция не является равнобокой.

3) Концы серединного отрезка трапеции можно найти, взяв среднее арифметическое координат концов каждой стороны. Для отрезка АВ: x-координата середины: (9+7)/2 = 8 y-координата середины: (3+5)/2 = 4 z-координата середины: (-8-(-9))/2 = -8.5

Для отрезка СД: x-координата середины: (-5-(-11))/2 = 3 y-координата середины: (-1-(-7))/2 = 3 z-координата середины: (0+7)/2 = 3.5

Таким образом, концы серединного отрезка трапеции будут точки (8,4,-8.5) и (3,3,3.5).

4) Чтобы найти косинус угла между боковыми сторонами трапеции, можно воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами: cos(θ) = (AB·CD) / (|AB|*|CD|)

Где AB·CD - скалярное произведение векторов AB и CD, |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD.

AB = (7-9, 5-3, -9-(-8)) = (-2, 2, -1) CD = (-11-(-5), -7-(-1), 7-0) = (-6, -6, 7)

AB·CD = (-2)*(-6) + 2*(-6) + (-1)*7 = 12 - 12 - 7 = -7 |AB| = √((-2)^2 + 2^2 + (-1)^2) = √4 + 4 + 1 = √9 = 3 |CD| = √((-6)^2 + (-6)^2 + 7^2) = √36 + 36 + 49 = √121 = 11

cos(θ) = (-7) / (3*11) = -7 / 33

Таким образом, косинус угла между боковыми сторонами трапеции равен -7/33.