Question

Помогите решить:cos3п/8cosп/8+sin3п/8sinп/8

Answer 1

$cos \frac{3 \pi }{8} cos \frac{ \pi }{8} +sin \frac{3 \pi }{8} sin \frac{ \pi }{8} =cos( \frac{3 \pi }{8} - \frac{ \pi }{8} )=cos \frac{2 \pi }{8} =cos \frac{ \pi }{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Answer 2

Для решения данного выражения, мы можем использовать тригонометрическую формулу двойного угла:

cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)

В данном случае, мы можем заменить угол θ на π/8:

cos(2(π/8)) = cos^2(π/8) - sin^2(π/8)

Теперь давайте рассмотрим формулу для cos(3θ):

cos(3θ) = 4cos^3(θ) - 3cos(θ)

Мы можем заменить угол θ на π/8 и рассчитать cos(3π/8):

cos(3(π/8)) = 4cos^3(π/8) - 3cos(π/8)

Аналогично, давайте рассмотрим формулу для sin(3θ):

sin(3θ) = 3sin(θ) - 4sin^3(θ)

Мы можем заменить угол θ на π/8 и рассчитать sin(3π/8):

sin(3(π/8)) = 3sin(π/8) - 4sin^3(π/8)

Теперь, возвращаясь к исходному выражению:

cos(3π/8)cos(π/8) + sin(3π/8)sin(π/8)

Мы можем заменить cos(3π/8) и sin(3π/8) соответствующими формулами:

(4cos^3(π/8) - 3cos(π/8))cos(π/8) + (3sin(π/8) - 4sin^3(π/8))sin(π/8)

Теперь, раскроем скобки и упростим выражение:

4cos^4(π/8) - 3cos^2(π/8)cos(π/8) + 3sin^2(π/8)sin(π/8) - 4sin^4(π/8)

4cos^4(π/8) - 3cos^3(π/8) + 3sin^3(π/8) - 4sin^4(π/8)

Теперь мы можем заменить cos^2(π/8) и sin^2(π/8) с использованием тригонометрической формулы:

cos^2(π/8) = (1 + cos(2π/8))/2

sin^2(π/8) = (1 - cos(2π/8))/2

Подставим эти значения:

4(1 + cos(2π/8))/2 - 3cos^3(π/8) + 3sin^3(π/8) - 4(1 - cos(2π/8))/2

2 + 2cos(2π/8) - 3cos^3(π/8) + 3sin^3(π/8) - 2 + 2cos(2π/8)

Упростим и объединим подобные члены:

4cos(2π/8) + 3sin^3(π/8) - 3cos^3(π/8)

Теперь мы можем заменить cos(2π/8) и sin(π/8) с помощью тригонометрических формул:

cos(2π/8) = cos(π/4) = 1/√2

sin(π/8) = √((1 - cos(π/4))/2) = √((1 - 1/√2)/2)

Подставим эти значения:

4(1/√2) + 3(√((1 - 1/√2)/2))^3 - 3(1/√2)^3

Упростим и вычислим значения:

4/√2 + 3(√((1 - 1/√2)/2))^3 - 3/√2

В итоге, мы получаем числовое значение для данного выражения.