Question

В четырехугольнике ABCD известно , что угол а и угол с - прямые , докажите что биссектриссы двух других его углов либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором известно, что угол a и угол c являются прямыми.

Пусть угол b и угол d - два других угла четырехугольника.

Теперь рассмотрим биссектрисы угла b и угла d. Обозначим их как l1 и l2 соответственно. Так как угол a и угол c являются прямыми, то биссектрисы угла a и угла c будут параллельны сторонам четырехугольника.

Теперь докажем, что биссектрисы угла b и угла d также будут параллельны сторонам четырехугольника. Предположим, что это не так, и биссектрисы пересекаются в точке O.

Тогда рассмотрим треугольники AOB и COD. Учитывая, что биссектрисы делят углы пополам, у нас есть следующие равенства углов: ∠AOB = ∠BOl1 и ∠COD = ∠DOl2.

Так как угол a и угол c являются прямыми, то ∠AOB + ∠BOl1 = 180° и ∠COD + ∠DOl2 = 180°. Но так как ∠AOB = ∠COD (они оба равны 90°), то ∠BOl1 = ∠DOl2.

Это означает, что биссектрисы угла b и угла d параллельны друг другу, что противоречит нашему предположению о их пересечении. Следовательно, биссектрисы угла b и угла d либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы двух других углов четырехугольника ABCD либо параллельны, либо лежат на одной прямой.