Question

Найдите общий вид первообразных для функции: а) f(x)=1/x^2+x^3+4/(x+5)^2 б) f(x)=1/cos^2x-sin(5x+Пи)

Answer 1

А) F (x)=- 1 /3x^3 +x^4/4 - 4/ 3(x+5)^3 б) F (x)= tg x +(cos (5x+pi) )/5

Answer 2

a) Функция f(x) = 1/x^2 + x^3 + 4/(x+5)^2

Для нахождения общего вида первообразной функции f(x), мы будем использовать методы интегрирования. Начнем с поиска первообразной для каждого слагаемого по отдельности, а затем объединим их вместе.

1. Член 1/x^2: Интеграл от 1/x^2 можно найти с помощью правила степенного интеграла. Интегрируя 1/x^2, получим: ∫(1/x^2) dx = -1/x

2. Член x^3: Интеграл от x^3 можно найти с помощью правила степенного интеграла. Интегрируя x^3, получим: ∫(x^3) dx = (1/4)x^4

3. Член 4/(x+5)^2: Для интегрирования данного выражения, мы можем сделать замену переменной. Пусть u = x + 5, тогда du = dx. Заменяя переменные, получим: ∫(4/(x+5)^2) dx = ∫(4/u^2) du = -4/u = -4/(x+5)

Объединяя все найденные первообразные, получим общий вид первообразной функции f(x): F(x) = -1/x + (1/4)x^4 - 4/(x+5)

б) Функция f(x) = 1/cos^2x - sin(5x+Пи)

Для нахождения общего вида первообразной функции f(x), мы также будем использовать методы интегрирования. Начнем с поиска первообразной для каждого слагаемого по отдельности, а затем объединим их вместе.

1. Член 1/cos^2x: Интеграл от 1/cos^2x можно найти с помощью формулы интеграла для тригонометрических функций. Интегрируя 1/cos^2x, получим: ∫(1/cos^2x) dx = ∫sec^2x dx = tan(x)

2. Член -sin(5x+Пи): Интеграл от -sin(5x+Пи) можно найти с помощью формулы интеграла для синуса. Интегрируя -sin(5x+Пи), получим: ∫(-sin(5x+Пи)) dx = (1/5)cos(5x+Пи)

Объединяя все найденные первообразные, получим общий вид первообразной функции f(x): F(x) = tan(x) + (1/5)cos(5x+Пи)

Это общие виды первообразных для заданных функций.