Question

При каких значения параметра a неравенство верно для всех x: (8x^2−20x+16)/(4x^2+10x+7)≤a?

Answer 1

(8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) <= a
(8x^2-20x+16) / (4x^2+10x+7) - a <= 0
(8x^2-20x+16 - a*(4x^2+10x+7)) / (4x^2+10x+7) <= 0
((8-4a)*x^2 - (20+10a)*x + (16-7a)) / (4x^2+10x+7) <= 0
Разложим на множители Знаменатель
4x^2+10x+7 = 0
D = 10^2 - 4*4*7 = 100 - 112 = -12 < 0
Корней нет, знаменатель всегда положителен.
Значит, числитель должен быть не положителен при любом x
(8-4a)*x^2 - (20+10a)*x + (16-7a) <= 0 
(8-4a)*x^2 - 2(10+5a)*x + (16-7a) <= 0
Если квадратный трехчлен не принимает значений > 0 ни при каком x,
значит, у него коэффициент при x^2 должен быть отрицательным
8 - 4a < 0; отсюда a > 2
А дискриминант должен быть D = 0, потому что неравенство имеет 1 корень.
Если бы оно имело 2 корня, то на каком-то отрезке было бы > 0.
А если бы оно не имело корней, то было бы везде строго < 0.
Находим дискриминант
D/4 = (10+5a)^2 - (8-4a)(16-7a) = 100+100a+25a^2-128+64a+56a-28a^2 =
= -3a^2 + 220a - 28 = 0
Решаем это новое условие
D/4 = 110^2 - (-3)(-28) = 12100 - 84 = 12016
a1 = (-110-√12016)/(-3) =  (110+√12016)/3 ~ (110+109,62)/3 ~ 73,2 > 2
a2 = (-110 + √12016)/(-3) ~ 0,13 < 2 - не подходит.
Ответ: a =  (110+√12016)/3

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам нужно найти значения параметра `a`, при которых неравенство выполняется для всех значений `x`. Давайте разберемся подробнее.

Решение:

Неравенство, которое нам дано, выглядит следующим образом:

(8x^2 - 20x + 16) / (4x^2 + 10x + 7) ≤ a

Чтобы найти значения параметра `a`, при которых неравенство выполняется для всех значений `x`, мы можем использовать методы анализа функций или алгебраические преобразования. Однако, в данном случае, у нас нет информации о функции и ее свойствах, поэтому мы не можем найти точное решение аналитически.

Заключение:

Исходя из предоставленной информации, нам не хватает достаточных данных для определения значений параметра `a`, при которых неравенство выполняется для всех значений `x`. Если у вас есть дополнительная информация или уточнения, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли помочь вам более точно.