Question

Решить неравенство log1/2*(x^2-4x+3)<или =-3

Answer 1

$log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4x+3) \leq -3 \\ \\ log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4x+3) \leq -3 \dot log_{ \frac{1}{2} } \frac{1}{2}$

$log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4x+3) \leq log_{ \frac{1}{2} }( \frac{1}{2}) ^{-3} \\ \\ log_{ \frac{1}{2} }(x^2-4x+3) \leq log_{ \frac{1}{2} }8$

Под знаком логарифмической функции должно быть положительное выражение, получаем первое неравенство системы.
Логарифмическая функция с основанием 0< 1/2 < 1 убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Получим второе неравенство системы
$\left \{ {{ x^{2} -4x+3\ \textgreater \ 0} \atop { x^{2} -4x+3 \geq 8}} \right.$

Решения второго неравенства и будут решением задачи.

х²-4х+3≥8

х²-4х-5≥0

D=16+20=36

x₁=(4-6)/2=-1     x₂=(4+6)/2=5

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\               ////////////////////////////
----------------[-1]-------------[5]-------------

Ответ (-∞;-1]U[5;+∞)

Answer 2

Для начала решим неравенство log1/2(x^2-4x+3) <= -3.

Сначала преобразуем левую часть неравенства, используя свойство логарифмов: loga(b) <= c равносильно a^c <= b. Таким образом, неравенство примет вид:

1/2^3 <= x^2-4x+3

Выразим левую часть неравенства:

1/8 <= x^2-4x+3

Теперь преобразуем неравенство, чтобы выразить его в виде квадратного уравнения:

0 <= x^2-4x+3-1/8

0 <= x^2-4x+23/8

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

x^2-4x+23/8 = 0

D = (-4)^2 - 4*1*(23/8) = 16 - 23/2 = 16 - 11.5 = 4.5

x1,2 = (4 ± √4.5) / 2

x1 = (4 + √4.5) / 2 ≈ 3.3 x2 = (4 - √4.5) / 2 ≈ 0.7

Теперь найдем интервалы, на которых неравенство выполняется. Для этого построим таблицу знаков:

Интервал: (-∞, 0.7) | (0.7, 3.3) | (3.3, +∞) Знак выражения: | - | + | + Неравенство: | 0 <= | 0 <= | 0 <=

Таким образом, неравенство log1/2(x^2-4x+3) <= -3 выполняется на интервалах (-∞, 0.7] и [3.3, +∞).