Question

Кратные и криволинейные интегралы Вычислить работу, совершаемую переменной силой F(P:Q) на линии l:

Answer 1

Интеграл $A = \int\limits_l {F*} \, ds$  выражает работу A переменной силы $F(x^2-y^2;xy)$ при перемещении материальной точки M=M(x;y) вдоль отрезка прямой  $l=AB$ от точки A к точки B.
$A = \int\limits_l {(x^2-y^2)} \, dx + xy \, dy,$ где l - отрезок AB.
Отрезок AB может быть записан в виде:
$\frac{x-1}{3-1} = \frac{y-1}{4-1} \\  \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} \\ 3(x-1)=2(y-1) \\ 3x-3=2y-2 \\ 2y=3x-1 \\ y=1,5x-0,5, x \in [1;3].$
Тогда $dy=1,5dx$ и
$A = \int\limits^3_1 {(x^2-(1,5x-0,5)^2)} \, dx +x(1,5x-0,5)*1,5dx = \int\limits^3_1 (x^2-2,25x^2+1,5x-0,25+2,25x^2-0,75x) \, dx = \int\limits^3_1 {(x^2+0,75x-0,25)}=(\frac{x^3}{3}+0,75\frac{x^2}{2}-0,25x)|^3_1=(\frac{3^3}{3}+0,75\frac{3^2}{2}-0,25*3)-(\frac{1^3}{3}+0,75\frac{1^2}{2}-0,25*1)=(9+\frac{3}{4}\frac{9}{2}-\frac{3}{4})-(\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\frac{1}{2}-\frac{1}{4}) =(9+\frac{21}{8})-(\frac{1}{3}+\frac{1}{8})=15,5$