Question

Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на x – 1, и остаток 1 при делении на x – 2. Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен (x – 1)(x – 2)?

Answer 1

Найдем этот многочлен , положим что 
$P(x)=A(x)(x-1)+2$  
$P(x)=B(x)(x-2)+1$ 
$P(x)=C(x)(x-1)(x-2)+d$ 
надо найти $d$, положим что $A(x)=x-a$ ; $B(x)=x-b$; $P(x)=(x-a)(x-1)+2$ 
$P(x)=(x-b)(x-2)+1$ 
$(x-a)(x-1)+2=(x-b)(x-2)+1$  
$(b-a+1)x-2b+a=-1$ 
$a-b=1$ $-2b+a=-1$ 
$a=1+b$ $-b+1=-1$ 
$b=2$; $a=3$ 
$P(x)=(x-3)(x-1)+2$ 
$(x-3)(x-1)+2-(x-1)(x-2)=3-x$ 
это и есть остаток  $3-x$