Question

Виконати дії і записати результат в тригонометричній формі:

Answer 1

Нехай $z_1=a+bi;\,\,\, z_2=c+di$, тоді

$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{a+bi}{c+di} = \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2} +\bigg( \dfrac{bc-ad}{c^2+d^2} \bigg)i$

В даному випадку

$\dfrac{1+i \sqrt{3} }{1-i \sqrt{3} } = \dfrac{1\cdot1+ \sqrt{3}\cdot(- \sqrt{3})}{1^2+( \sqrt{3})^2} +\bigg( \dfrac{ \sqrt{3}\cdot 1-1\cdot (- \sqrt{3})}{1+(- \sqrt{3})^2} \bigg)i=\\ \\ \\ = \dfrac{1-3}{1+3} +\bigg( \dfrac{ \sqrt{3}+ \sqrt{3}}{1+3} \bigg)i= \dfrac{-2+2 \sqrt{3}i}{4} = \dfrac{-1+i \sqrt{3}}{2}$


Позначимо $z=-1+i \sqrt{3}$, тоді перейдемо до тригонометричної форми комплексних чисел.
$z=|z|(\cos x+i\sin x)$
Знайдемо модуль комплексного числа:
$|z|= \sqrt{(-1)^2+ (\sqrt{3})^2} =2$

Виносимо теперь за дужки число 2 (після того як знайшли модуль)
$z=2(- \dfrac{1}{2} + \dfrac{ \sqrt{3}}{2} i)$

Аргумент комплексного числа ми можемо знайти 2 способами:

1) Спосіб(Аналітичний)
Оскільки $\cos x=- \dfrac{1}{2}$ і $\sin x= \dfrac{ \sqrt{3}}{2}$, то ми можемо визначити на якому четверті ці значення. Тобто, у нас будет це 2 четверть, т.к. косинус 2 четверті від'ємний, а синус - додатній. Тобто, це кут $x= \dfrac{2 \pi }{3}$

2) cпосіб:
Оскільки $-1\ \textless \ 0$ і $\sqrt{3} \geq 0$, то аргумент можем знайти за формулою:
$\arg(z)=\pi-arctg\bigg( \dfrac{y}{|x|} \bigg)= \pi -arctg\bigg( \dfrac{ \sqrt{3} }{|-1|} \bigg)= \pi - \dfrac{ \pi }{3} = \dfrac{2 \pi }{3}$


$z=-1+i \sqrt{3} =2\bigg(\cos \bigg(\dfrac{2 \pi }{3} \bigg)+i\sin \bigg(\dfrac{2 \pi }{3} \bigg)\bigg)$

Тобто, комплексне число в тригонометричній формі буде мати вигляд:

$\dfrac{-1+i\sqrt{3} }{2} = \dfrac{2\cdot\bigg(\cos\bigg(\dfrac{2 \pi }{3} \bigg)+i\sin\bigg(\dfrac{2 \pi }{3} \bigg)\bigg)}{2} =\cos\bigg(\dfrac{2 \pi }{3} \bigg)+i\sin\bigg(\dfrac{2 \pi }{3} \bigg)$