Question

Какое наибольшое количество трёхзначных чисел можно написать на доске так, чтобы все они оканчивались на разные цифры? Б) а так, что любые два числа различались хотя бы в одной из двух последних цифр? В) Даны целые числа, всего их 101. Докажите, что разность каких-то двух этих чисел делится на 100.

Answer 1

А) Всего вариантов последних цифр 10, так что написать можно не больше 10. Ровно 10 написать можно, например, так: 100, 101, 102, ..., 109.
Б) Всего вариантов двух последних цифр 10^2 = 100, так что можно написать не больше 100. Ровно 100 написать можно, например, так: 100, 101, 102, ..., 199.
В) Есть всего 100 остатков от деления на 100: 0, 1, ..., 99. Чисел 100, поэтому найдутся два числа с одинаковыми остатками при делении на 100, т.е. это 100n + r, 100m + r, где n, m, r - целые числа. Тогда их разность (100n + r) - (100m + r) = 100(n - m) делится на 100.