Question

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10. ПОДРОБНОЕ решение С ЧЕРТЕЖОМ, пожалуйста с:

Answer 1

Задача а)
ДАНО
b = 2*a - основание в 2 раза больше.
AB = CD -  равнобедренная трапеция.
ДОКАЗАТЬ
AH : HD = 3 
РЕШЕНИЕ
HD = (b - a)/2 = (2a - a)/2 = a/2
AH = b - HD = 2*a - a/2 = 3/2*a
AH : HD  = 3/2 : 1/2 = 3 - ЧТД - что и требовалось доказать.
Рисунок к задаче в приложении.
В общем виде высота делит основание в отношении: (b+a)/(b-a).
Задача б) 
ДАНО
ВС = 16 - малое основание
 АВ = CD = 10 - ,боковая сторона  равнобедренной трапеции.
АD = 2*BC = 32 - основание в 2 раза больше.
OM = MD - точка М - середина отрезка диагонали.
НАЙТИ
CM=? - отрезок от вершины С  до М.
РЕШЕНИЕ
Рисунок к задаче в приложении.
ΔBOC ≈ ΔAOD - подобны по двум углам при основаниях.
Коэффициент подобия
k = AD/BC = 32/16 = 2 
Отсюда следует, что точка М - середина OD = OB.
Рассмотрим другие подобные треугольники - 
ΔBGD ≈ ΔMHD.
По пункту  а) задачи получаем - высота делит основание:
HD = AG = (32-16)/2 = 8.
Вспоминаем Пифагора и его треугольник - 3:4:5.
Вычисляем "в уме" высоту
BG = 6
ΔBGD ≈ ΔMHD - по двум углам (один из них 90°)
Коэффициент подобия
BG/MH = DG/HD = 6/(16+8) = 1/3
MH = 1/3* BG  = 6/3 = 2 и .......
СМ =  СН - МН = 6 - 2 = 4 - ОТВЕТ

Answer 2

Давайте рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где основание AD в два раза больше основания BC. Обозначим длину BC как \(x\), тогда длина AD будет \(2x\).

а) Докажем, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.

Пусть H - точка пересечения высоты CH с основанием AD. Так как трапеция равнобедренная, то высота CH делит её на два равнобедренных треугольника CHA и CHD.

Обозначим отрезок HD через \(a\) и отрезок AC через \(b\). Тогда мы имеем:

\[HD = a, \quad AC = b\]

С учетом того, что треугольники CHA и CHD равнобедренные, мы можем записать:

\[AH = AC = b, \quad DH = HD = a\]

Также из условия равнобедренности трапеции известно, что AD = 2BC, то есть \(AD = 2x\). Тогда:

\[AD = AH + HD = b + a\]

Таким образом, мы получаем уравнение:

\[2x = b + a\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 2x \\ a = HD \end{cases} \]

Решим эту систему. Выразим \(a\) из первого уравнения:

\[a = 2x - b\]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[HD = a = 2x - b\]

Таким образом, мы доказали, что отрезок HD втрое меньше отрезка AC.

б) Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD.

Чтобы найти расстояние от вершины C до середины отрезка OD, давайте рассмотрим треугольник OCD. Поскольку O - точка пересечения диагоналей, то OD является медианой треугольника ABC.

Для нахождения длины OD воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ABC:

\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

Подставим известные значения:

\[10^2 = x^2 + (2x)^2\]

Решим это уравнение для нахождения значения x:

\[100 = x^2 + 4x^2\]

\[5x^2 = 100\]

\[x^2 = 20\]

\[x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Теперь мы можем найти длину OD:

\[OD^2 = OC^2 - CD^2\]

\[OD^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2 + AC^2\]

\[OD^2 = \left(\frac{2\sqrt{5}}{2}\right)^2 + 10^2\]

\[OD^2 = 5 + 100\]

\[OD^2 = 105\]

\[OD = \sqrt{105}\]

Теперь, чтобы найти расстояние от вершины C до середины отрезка OD, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике OCD:

\[CD^2 = OC^2 - OD^2\]

\[CD^2 = 10^2 - 105\]

\[CD = \sqrt{5}\]

Таким образом, расстояние от вершины C до середины отрезка OD равно \(\sqrt{5}\).