Question

Відомо, що a²-b=b²-c=c²-a причому a≠b,b≠c,c≠a.Знайдіть значення виразу (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) .Допоможіть будьласка

Answer 1

Решение прицеплено в картинке.

Answer 2

Звучить як цікава математична задача! Давайте розберемося.

Ми маємо наступні рівності: 1. \(a^2 - b = b^2 - c\) 2. \(b^2 - c = c^2 - a\) 3. \(c^2 - a = a^2 - b\)

Давайте зробимо певні маніпуляції, щоб розкрити ці вирази. Почнемо з першої рівності: \(a^2 - b = b^2 - c\). Це можна переписати як \(a^2 - b^2 = b - c\).

Аналогічно, друга рівність дає \(b^2 - c^2 = c - a\), і третя рівність дає \(c^2 - a^2 = a - b\).

Ці рівності можна спростити, використовуючи різницю квадратів: 1. \((a - b)(a + b) = b - c\) 2. \((b - c)(b + c) = c - a\) 3. \((c - a)(c + a) = a - b\)

Тепер збережемо симетричні рівності: 1. \(a + b = \frac{b - c}{a - b}\) 2. \(b + c = \frac{c - a}{b - c}\) 3. \(c + a = \frac{a - b}{c - a}\)

Тепер давайте підставимо ці значення у вираз \((a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)\): \((a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) = \left(\frac{b - c}{a - b} + 1\right)\left(\frac{c - a}{b - c} + 1\right)\left(\frac{a - b}{c - a} + 1\right)\)

Тепер розкриємо ці дужки та спростимо вираз. Зверніть увагу, що \(\frac{b - c}{a - b} + 1 = \frac{b - c + a - b}{a - b} = \frac{a - c}{a - b}\), і так само для інших дужок.

Отже, \((a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) = \frac{a - c}{a - b} \cdot \frac{b - a}{b - c} \cdot \frac{c - b}{c - a}\).

Тепер помітимо, що ми можемо переписати ці дроби з знаками мінус таким чином, щоб отримати додатні значення у чисельнику та знаменнику кожного дробу. Це виконається завдяки відмінності у знаках у чисельнику та знаменнику кожного з дробів. Отже, усі чисельники та знаменники стають додатніми за умови, що \(a ≠ b\), \(b ≠ c\) та \(c ≠ a\).

Це означає, що кожен з дробів \(\frac{a - c}{a - b}\), \(\frac{b - a}{b - c}\) та \(\frac{c - b}{c - a}\) дорівнює 1.

Отже, \((a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\).

Отриманий результат: значення виразу \((a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)\) дорівнює 1.