Question

Вычислить ПОЖАЛУЙСТА интеграл x^3 (1+5x) dx=

Answer 1

$\int\limits {x^3(1+5x)} \, dx= \int\limits{(x^3+5x^4)} \, dx = \frac{x^4}{4}+5 \frac{x^5}{5} =x^5+ \frac{x^4}{4}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам вычислить данный интеграл. Для этого воспользуемся методом интегрирования по частям, который формулируется как:

\[\int u \, dv = uv - \int v \, du,\]

где \(u\) и \(v\) - это дифференцируемая и интегрируемая функции соответственно.

Для вашего интеграла \(\int x^3 (1+5x) \, dx\), выберем:

\[u = x^3 \quad \Rightarrow \quad du = 3x^2 \, dx\] \[dv = (1+5x) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \int (1+5x) \, dx = x + \frac{5}{2}x^2.\]

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[\int x^3 (1+5x) \, dx = x^3 \left(x + \frac{5}{2}x^2\right) - \int \left(x + \frac{5}{2}x^2\right) \cdot 3x^2 \, dx.\]

Упростим:

\[= x^4 + \frac{5}{2}x^5 - \int \left(3x^3 + \frac{15}{2}x^4\right) \, dx.\]

Теперь проинтегрируем последний интеграл:

\[= x^4 + \frac{5}{2}x^5 - \left(\frac{3}{4}x^4 + \frac{5}{6}x^5\right) + C,\]

где \(C\) - константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

\[\int x^3 (1+5x) \, dx = \frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^5 + C,\]

где \(C\) - произвольная константа.