Question

Во сколько раз уменьшится объем конуса если диаметр его основанияуменьшить в 2,5 раза

Answer 1

Решение:
Зная формулу объема конуса
V = $\frac{1}{3}$S₀сн · h (1)
По формуле площади основания
S₀сн = π·d²/4 (2)
можно вычислить во сколько раз уменьшится "S₀сн", если уменьшить "d"  в 2,5 раза, то
2,5² = 6,25 раза ⇒
⇒ V(объем конуса) по формуле "1", тоже уменьшится в 6,25 раза, при h - const
Ответ: объем конуса уменьшится в 6,25 раза.

Answer 2

Объем конуса зависит от радиуса основания, а не от диаметра. Однако, если у вас дан диаметр, вы можете легко найти радиус, так как радиус равен половине диаметра.

Допустим, изначальный конус имеет радиус \( r \) и высоту \( h \). Тогда его объем \( V \) вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \]

Если диаметр основания уменьшается в 2,5 раза, то новый радиус \( r' \) будет равен \( \frac{1}{2,5} \) от исходного радиуса, то есть \( r' = \frac{2}{5}r \).

Теперь мы можем выразить новый объем \( V' \) с новым радиусом:

\[ V' = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{2}{5}r\right)^2 h \]

Давайте упростим это выражение:

\[ V' = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{4}{25} r^2 h \]

Теперь мы можем выразить отношение нового объема к изначальному:

\[ \frac{V'}{V} = \frac{\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{4}{25} r^2 h}{\frac{1}{3}\pi r^2 h} \]

Рассмотрим, что многие члены упрощаются:

\[ \frac{V'}{V} = \frac{\frac{4}{25} r^2 h}{r^2 h} \]

\[ \frac{V'}{V} = \frac{4}{25} \]

Таким образом, объем нового конуса будет меньше исходного в 4/25 или 0,16 раза.