Question

Найти интеграл: (1-sin^2(x))dx/sin^2(x)

Answer 1

$\int \frac{1-sin^2x}{sin^2x}dx= \int \frac{dx}{sin^2x}-\int dx=-ctgx-x+C$

Answer 2

Конечно, давайте решим данный интеграл:

\[ \int \frac{{1 - \sin^2(x)}}{{\sin^2(x)}} \,dx \]

Для начала, давайте упростим числитель:

\[ 1 - \sin^2(x) = \cos^2(x) \]

Теперь интеграл принимает вид:

\[ \int \frac{{\cos^2(x)}}{{\sin^2(x)}} \,dx \]

Теперь воспользуемся тригонометрической подстановкой. Заметим, что \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\). Заменим \(\sin(x) = t\), тогда \(\cos(x) \,dx = dt\).

\[ \int \frac{{\cos^2(x)}}{{\sin^2(x)}} \,dx = \int \frac{{1 - \sin^2(x)}}{{\sin^2(x)}} \,dx = \int \frac{{1 - t^2}}{{t^2}} \,dt \]

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\[ \int \left( \frac{1}{{t^2}} - 1 \right) \,dt \]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[ -\frac{1}{t} - t + C \]

Где \( C \) - постоянная интеграции.

Теперь подставим обратную тригонометрическую функцию \(\sin^{-1}(x)\) вместо \(t\):

\[ -\frac{1}{{\sin(x)}} - \sin(x) + C \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ -\frac{1}{{\sin(x)}} - \sin(x) + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная.