Question

Найти первообразную . f(x)= 3x-1 . f(x)= 5sinx

Answer 1

1) $F(x)=\int(3x-1)dx=3\int xdx-\int dx=\frac{3x^2}{2}-x+C$

$2)~ F(x)=5\int \sin x~dx=-5\cos x+C$

Answer 2

Первообразная функции f(x) = 3x - 1

Для нахождения первообразной функции f(x) = 3x - 1, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Для этого мы будем использовать правила интегрирования и формулы. В данном случае, поскольку f(x) является линейной функцией, мы можем использовать свойство линейности интеграла.

Правило интегрирования линейной функции: ∫(a * f(x) + b * g(x)) dx = a * ∫f(x) dx + b * ∫g(x) dx

Таким образом, мы можем разделить функцию f(x) = 3x - 1 на две части: 3x и -1.

∫(3x - 1) dx = 3 * ∫x dx - ∫1 dx

Интегрируем каждую часть отдельно:

∫x dx = (1/2)x^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная

∫1 dx = x + C2, где C2 - произвольная постоянная

Теперь объединим результаты:

∫(3x - 1) dx = 3 * ((1/2)x^2 + C1) - (x + C2)

Упростим выражение:

∫(3x - 1) dx = (3/2)x^2 + 3C1 - x - C2

Таким образом, первообразная функции f(x) = 3x - 1 равна (3/2)x^2 + 3C1 - x - C2, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Первообразная функции f(x) = 5sin(x)

Для нахождения первообразной функции f(x) = 5sin(x), мы будем использовать формулу интегрирования для синуса.

Формула интегрирования для синуса: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C, где C - произвольная постоянная

Учитывая коэффициент 5, мы можем применить свойство линейности интеграла:

∫5sin(x) dx = 5 * ∫sin(x) dx = -5cos(x) + C

Таким образом, первообразная функции f(x) = 5sin(x) равна -5cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.