Question

Решите уравнение log_2(25^х -1) = 2+log_2(5^(х+3)+1)

Answer 1

$log_2(25^{x}-1)=2+log_2(5^{x+3}+1)\; ;\\\\ ODZ:\; \left \{ {{25^{x}-1\ \textgreater \ 0} \atop {5^{x+3}+1\ \textgreater \ 0}} \right. \; \left \{ {{5^{2x}\ \textgreater \ 1} \atop {5^{x}\cdot 5^3\ \textgreater \ -1}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; 2x\ \textgreater \ 0\; ,\; x\ \textgreater \ 0\\\\log_2(5^{2x}-1)=log_24+log_2(5^{x+3}+1)\\\\5^{2x}-1=4(5^{x}\cdot 5^3+1)\\\\5^{2x}-500\cdot 5^{x}-5=0\\\\t=5^{x}\ \textgreater \ 0,\; \; \; t^2-500t-5=0\\\\D/4=62505=9\cdot 6945\\\\t_1=250-3\sqrt{6945}\ \textless \ 0\\\\t_2=250+3\sqrt{6945}\ \textgreater \ 0\\\\5^{x}=250+3\sqrt{6945}\\\\x=log_5(250+3\sqrt{6945})$

Answer 2

Давайте решим уравнение log_2(25^x - 1) = 2 log_2(5^(x + 3) + 1) подробно.

Для начала, давайте перепишем логарифмы в эквивалентной экспоненциальной форме. Общий вид логарифма log_a(b) = c эквивалентен уравнению a^c = b. Используя это, мы можем переписать уравнение следующим образом:

2^(log_2(25^x - 1)) = (5^(x + 3) + 1)

Теперь мы можем упростить это уравнение, заменяя логарифмы экспоненциальными функциями:

2^(log_2(25^x - 1)) = 5^(x + 3) + 1

Так как основание обоих сторон уравнения равно 2, мы можем упростить его еще больше:

25^x - 1 = 5^(x + 3) + 1

Теперь давайте решим это уравнение.

25^x - 1 = 5^(x + 3) + 1

Для начала, давайте преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что 5^(x + 3) можно представить в виде произведения степеней:

5^(x + 3) = 5^x * 5^3 = 5^x * 125

Теперь мы можем заменить 5^(x + 3) в уравнении:

25^x - 1 = 5^x * 125 + 1

Заметим также, что 25^