Question

1)Найдите значения выражения: cos П/12 cos 7П/12-sin П/12 sin 7П/12=? 2)Докажите тождество: sin(a+q)+sin(a-q)=2sin a cos q

Answer 1

1)cos(π/12+7π/12)=cos2π/3=-1/2
2)sin(a+q)+sin(a-q)=sinacosq+sinqcosa+sinacosq-sinqcosa=2sinacosq
2sinacosq=2sinacosq

Answer 2

1) Чтобы найти значение выражения, мы используем тригонометрические формулы. В данном случае воспользуемся формулами сложения и вычитания для синуса и косинуса.

cos(П/12) cos(7П/12) - sin(П/12) sin(7П/12)

Используем формулу сложения для косинуса:

cos(П/12 + 7П/12) = cos(8П/12) = cos(2П/3)

Используем формулу разности для синуса:

sin(7П/12 - П/12) = sin(6П/12) = sin(П/2)

Теперь подставим в исходное выражение:

cos(2П/3) - sin(П/2)

Значение косинуса 2П/3 равно -1/2, так как это соответствует углу 120 градусов на единичной окружности. Значение синуса П/2 равно 1, так как это соответствует углу 90 градусов на единичной окружности. Подставим эти значения:

-1/2 - 1 = -3/2

Таким образом, значение выражения cos(П/12) cos(7П/12) - sin(П/12) sin(7П/12) равно -3/2.

2) Для доказательства данного тождества также используем тригонометрические формулы. Рассмотрим выражение:

sin(a+q) sin(a-q)

Используем формулу сложения для синуса:

sin(a+q) sin(a-q) = (sin(a) cos(q) + cos(a) sin(q))(sin(a) cos(q) - cos(a) sin(q))

Получим:

= sin^2(a) cos^2(q) - cos^2(a) sin^2(q)

Используем основное тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

= (1 - cos^2(a) sin^2(q))(1 - sin^2(a) cos^2(q))

= (cos^2(a) + sin^2(a))(1 - cos^2(a) sin^2(q)) (подставляем синус и косинус через единичную окружность)

= 1 - cos^2(a) sin^2(q)

Сформулированное тождество доказано.