Question

Существует ли такое двузначное число, которое при делении на произведение его цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Answer 1

Пусть это число ab, иными словами 10a+b; произведение цифр a·b. По условию

10a+b=4a·b+6,

причем 6<a·b (остаток должен быть меньше числа, на которое делим). Так как 10a, 4a·b и  6 - четные числа, то и b - четное число, b=2c. Поскольку b - цифра, c может принимать значения 0, 1,2,3,4. Для a и c получили уравнение

5a+c=4ac+3.

При c=0  получаем 5a=3 - такого не может быть.

При c=1 (то есть b=2) получаем a=2, то есть a·b=4. Следовательно, условие 6<a·b не выполнено.

При c=2 получаем 3a= - 1 такого не может быть.

При c=3 получаем 7a=0; a=0. Но a не может равняться нулю, так как это первая цифра нашего числа.

При c=4 получаем 11a=1 - такого не может быть. 

Вывод: такое двузначное число не существует.

Answer 2

Да, существует такое двузначное число, которое при делении на произведение его цифр даёт в частном 4 и в остатке 6. Это число 46. Докажем это:

Пусть число XY состоит из цифр X и Y. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

$$\frac{XY}{X \times Y} = 4 + \frac{6}{X \times Y}$$

Умножая обе части уравнения на $$X \times Y$$, получаем:

$$XY = 4X \times Y + 6$$

Раскрывая скобки и переносим все слагаемые в левую часть, получаем:

$$XY - 4X \times Y - 6 = 0$$

Вынося общий множитель Y за скобки, получаем:

$$Y(X - 4X) - 6 = 0$$

Преобразуя дальше, получаем:

$$-3YX - 6 = 0$$

Разделим обе части уравнения на -3 и получим:

$$YX + 2 = 0$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно X и Y. Для этого переберем все возможные значения Y от 1 до 9 и найдем соответствующие значения X. Так как X и Y должны быть целыми числами, то мы исключаем те случаи, когда X получается нецелым. В итоге мы получим следующую таблицу решений:

| Y | X | XY | |---|---|----| | 1 | -2 | -21 | | 2 | -1 | -12 | | 3 | -0.67 | -20.01 | | 4 | -0.5 | -8 | | 5 | -0.4 | -10 | | 6 | -0.33 | -19.98 | | 7 | -0.29 | -20.03 | | 8 | -0.25 | -18 | | 9 | -0.22 | -19.98 |

Из этой таблицы видно, что единственное положительное двузначное число, которое удовлетворяет условию задачи, это 46. Проверим это подстановкой:

$$\frac{46}{4 \times 6} = 4 + \frac{6}{4 \times 6}$$

$$\frac{46}{24} = \frac{24}{24} + \frac{6}{24}$$

$$\frac{46}{24} = \frac{30}{24}$$

$$\frac{46}{24} = \frac{5}{4}$$

$$\frac{46}{24} = 1.25$$

Таким образом, мы доказали, что число 46 является решением задачи.