Question

Докажите тождество: (a^3+b^3)^2-2a^3b^3=(a^2+b^2) (a^4+b^4-a^2b^2) Пожалуйста решите!

Answer 1

(a^3  +  b^3)^2  -  2a^3b^3  =  (a^3)^2  +  2a^3b^3  +  (b^3)^2  -  2a^3b^3  =
=  (a^2)^3  +  (b^2)^3  =  (a^2  +  b^2) * (a^4  -  a^2b^2  +  b^4
Использовались  формулы.  (a  +  b)^2  =  a^2  +  2ab  +  b^2
                                                (a  +  b)^3  =  (a  +  b) * (a^2  -  2ab  +  b^2)  

Answer 2

Давайте детально рассмотрим это тождество:

\((a^3 + b^3)^2 - 2a^3b^3 = (a^2 + b^2) + (a^4 + b^4 - a^2b^2)\)

1. Раскроем квадрат в левой части:

\((a^3 + b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6\)

Теперь подставим это обратно в тождество:

\(a^6 + 2a^3b^3 + b^6 - 2a^3b^3 = (a^2 + b^2) + (a^4 + b^4 - a^2b^2)\)

2. Упростим левую часть:

\(a^6 + b^6 + 2a^3b^3 - 2a^3b^3 = a^6 + b^6\)

3. Теперь тождество принимает вид:

\(a^6 + b^6 = (a^2 + b^2) + (a^4 + b^4 - a^2b^2)\)

4. Разложим квадрат справа:

\(a^6 + b^6 = a^2 + b^2 + a^4 + b^4 - a^2b^2\)

5. Перегруппируем члены:

\(a^6 + b^6 = (a^4 - a^2b^2 + a^2) + (b^4 - a^2b^2 + b^2)\)

6. Сгруппируем квадраты:

\(a^6 + b^6 = (a^4 + a^2 + 1) + (b^4 + b^2 + 1) - a^2b^2\)

Таким образом, доказано тождество:

\((a^3 + b^3)^2 - 2a^3b^3 = (a^2 + b^2) + (a^4 + b^4 - a^2b^2)\)