Question

Cos24° - cos84° ____________ sin54° Решите подробно пожалуйста.

Answer 1

Воспользуемся формулой:    $\cos{x} - \cos{y} = 2 \sin{ \frac{y-x}{2} } \sin{ \frac{y+x}{2} } \ ;$


$\frac{ \cos{ 24^o } - \cos{ 84^o } }{ \sin{ 54^o } } = \frac{ 2 \sin{ \frac{ 84^o - 24^o }{2} } \sin{ \frac{ 84^o + 24^o }{2} } }{ \sin{ 54^o } } = \\\\ = \frac{ 2 \sin{ \frac{ 60^o }{2} } \sin{ \frac{ 108^o }{2} } }{ \sin{ 54^o } } = \frac{ 2 \sin{ 30^o } \sin{ 54^o } }{ \sin{ 54^o } } = 2 \sin{ 30^o } = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \ .$

Answer 2

Для решения данного выражения, воспользуемся формулами тригонометрии.

1. Заменим cos 24° на sin(90° - 24°), так как sin и cos относятся к дополнительным углам: cos 24° = sin(90° - 24°).

2. Заменим cos 84° на sin(90° - 84°): cos 84° = sin(90° - 84°).

3. Раскроем скобки: cos 24° + cos 84° = sin(90° - 24°) + sin(90° - 84°).

4. По формуле суммы двух синусов: sin(α) + sin(β) = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2), где α = 90° - 24°, β = 90° - 84°.

5. Подставляем значения: cos 24° + cos 84° = 2sin((90° - 24° + 90° - 84°)/2)cos((90° - 24° - 90° + 84°)/2).

6. Упрощаем: cos 24° + cos 84° = 2sin(90°/2)cos(60°/2).

7. Вычисляем значения синуса и косинуса: cos 24° + cos 84° = 2sin(45°)cos(30°).

8. Подставляем значения синуса и косинуса: cos 24° + cos 84° = 2 * (√2/2) * (√3/2).

9. Умножаем числа: cos 24° + cos 84° = √2 * √3.

10. Приводим подобные: cos 24° + cos 84° = √6.

11. Включаем третье слагаемое sin 54°: cos 24° + cos 84° + sin 54° = √6 + sin 54°.

Таким образом, ответом на данное выражение является √6 + sin 54°.