Question

Решить интеграл: arctgx^0,5*dx

Answer 1

$\int arctg\sqrt{x}\cdot dx=[\, t=\sqrt{x}\; ,\; x=t^2\; ,\; dx=2t\cdot dt\, ]=\\\\=2\cdot \int t\cdot arctgt\cdot dt=[\, u=arctgt\; ,\; du=\frac{dt}{1+t^2}\; ,dv=t\cdot dt\; ,\; v=\frac{t^2}{2}\, ]=\\\\=uv-\int v\cdot du=2\cdot (\frac{t^2}{2}\cdot arctgt-\frac{1}{2}\cdot \int \frac{t^2\cdot dt}{1+t^2})=\\\\=t^2\cdot arctgt-\int (1-\frac{1}{1+t^2})dt=t^2\cdot arctgt-\int dt+\int \frac{dt}{1+t^2}=\\\\=t^2\cdot arctgt-t+arctgt+C=arctgt\cdot (t^2+1)-t+C=\\\\=arctg\sqrt{x}\cdot (x+1)-\sqrt{x}+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, сначала нам понадобится использовать замену переменной. Пусть u = arctan(sqrt(x)). Тогда мы можем выразить x через u следующим образом: x = tan^2(u).

Далее, нам потребуется выразить dx через du. Для этого возьмем производную от x по u: dx/du = 2tan(u)sec^2(u). Теперь мы можем выразить dx через du: dx = 2tan(u)sec^2(u)du.

Подставим значения x и dx в исходный интеграл: ∫