Question

В окружности радиусом 3 с центром в точке о из точки а окружности проведены две хорды, пересекающие окружность в точках b и c. Найдите длину хорды cb если угол CAB = 30 градусов

Answer 1

ВС²=АВ²+АС²-2АВ*АС*сosBAC=9+9-2*9*√3/2=18-9√3=9(2-√3)
BC=3√(2-√3)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства окружности и треугольника.

Известно, что радиус окружности равен 3. Также дано, что точка А лежит на окружности, а точка О является центром окружности.

Поскольку хорды CB и AC пересекают окружность в точках B и C, соответственно, то треугольник ABC является равнобедренным треугольником, так как AC = BC.

Также известно, что угол CAB равен 30 градусов.

Используя свойства равнобедренного треугольника, мы можем заключить, что угол CBA равен углу CAB (так как у равнобедренного треугольника два равных угла), то есть угол CBA также равен 30 градусам.

Теперь мы можем применить свойство треугольника, согласно которому сумма углов треугольника равна 180 градусам. Так как углы CAB и CBA равны 30 градусам, то угол BAC равен 180 - 30 - 30 = 120 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину хорды CB.

В треугольнике ABC у нас известны стороны AB (равна радиусу окружности, то есть 3) и AC (также равна радиусу окружности, то есть 3), а также угол BAC (равен 120 градусам).

Теорема косинусов гласит:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C),

где c - длина стороны CB, a и b - длины сторон AB и AC соответственно, C - угол BAC.

Подставляя известные значения, получаем:

CB² = 3² + 3² - 2 * 3 * 3 * cos(120).

CB² = 9 + 9 - 18 * cos(120).

CB² = 18 - 18 * (-0.5).

CB² = 18 + 9.

CB² = 27.

CB = √27.

CB = 3√3.

Таким образом, длина хорды CB равна 3√3.