Question

Квадрат со стороной 12 см разделили на клетки квадратной формы со стороной 4 см и отметили 37 точек.Докажите, что в какой то одной клетке окажется не менее 5 точек.

Answer 1

Всего получится 9 клеток размером 4×4.

Если в каждой клетке разместить по 4 точки,т.е поровну во всех клетках,  то разместим 36 точек.

Тогда 37-я точка окажется в одной из 9-ти клеток пятой.
Найдется одна клетка, в которой будет 5 точек.

Answer 2

Давайте взглянем на эту задачу. У нас есть квадрат со стороной 12 см, который разделен на клетки квадратной формы со стороной 4 см. При этом внутри этого большого квадрата отмечено 37 точек.

Чтобы доказать, что в какой-то одной клетке окажется не менее 5 точек, можно воспользоваться принципом ящиков и шаров (или принципом Дирихле), который утверждает, что если \( n \) объектов размещены в \( m \) контейнерах и \( n > m \), то как минимум в одном контейнере будет не менее одного объекта.

В данной задаче у нас есть 37 точек и 9 клеток внутри большого квадрата, так как он разделен на клетки со стороной 4 см.

37 точек не могут равномерно распределиться по этим 9 клеткам, потому что \( 37 \) не делится нацело на \( 9 \). Даже если предположить, что в 8 клетках окажется по 4 точки (что даст 32 точки), в последней клетке останется не менее 5 точек.

Таким образом, применяя принцип Дирихле, мы можем утверждать, что в какой-то одной клетке окажется не менее 5 точек.