Question

Хелп Sin(x+pi/4) <= 1/2

Answer 1

Решение
Sin(x+π/4) ≤ 1/2
- π - arcsin(1/2) + 2πn ≤ x + π/4 ≤ arcsin(1/2) + 2πn, n∈Z
- π - π/6 + 2πn ≤ x + π/4 ≤ π/6 + 2πn,n ∈Z
- 7π/6 + 2πn ≤ x + π/4 ≤ π/6 + 2πn,n ∈Z
- 7π/6 - π/4 + 2πn ≤ x ≤ π/6 - π/4 + 2πn,n ∈Z
- 17π/12 + 2πn ≤ x ≤ - π/12 + 2πn, n∈Z

Answer 2

Чтобы решить неравенство sin(x + π/4) ≤ 1/2, необходимо воспользоваться свойствами тригонометрии и решить его графически или аналитически.

Аналитический метод: 1. Используем свойства синуса: sin(x + π/4) = sin(x)cos(π/4) + cos(x)sin(π/4). 2. Так как cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, получаем sin(x + π/4) = (1/√2)sin(x) + (1/√2)cos(x). 3. Подставляем это выражение в неравенство: (1/√2)sin(x) + (1/√2)cos(x) ≤ 1/2. 4. Умножаем обе части неравенства на √2, чтобы избавиться от знаменателя: sin(x) + cos(x) ≤ √2/2. 5. Пользуемся тригонометрической формулой: sin(x + α) = sin(x)cos(α) + cos(x)sin(α). 6. Так как cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, получаем sin(x + π/4) = sin(x) + cos(x). 7. Подставляем это выражение в неравенство: sin(x + π/4) ≤ √2/2. 8. Итак, мы получили неравенство sin(x + π/4) ≤ √2/2, которое можно решить графически или приближенно методом подстановки.

Графический метод: 1. Построим график функции sin(x + π/4). 2. На графике отметим точку (0, √2/2), которая соответствует значению 1/2. 3. Из графика видно, что значения sin(x + π/4) меньше или равны √2/2 на интервалах, где график находится ниже этой точки. 4. Таким образом, решением неравенства sin(x + π/4) ≤ 1/2 являются все значения x, для которых график находится ниже горизонтальной линии, проходящей через точку (0, √2/2).

Приближенный метод: 1. Заметим, что sin(x + π/4) ≤ 1/2 тогда и только тогда, когда x + π/4 лежит в интервале [-π/6, π/6] (так как sin(x) ≤ 1/2 на этом интервале). 2. Отсюда получаем, что x лежит в интервале [-7π/12, -π/12] или [5π/12, 11π/12].

В итоге, решением неравенства sin(x + π/4) ≤ 1/2 является множество значений x, которое можно представить в виде: x ∈ [-7π/12, -π/12] ∪ [5π/12, 11π/12].