Question

Найти производную (2x^4-3x^-2)*(5x^7-2x^-4)

Answer 1

Производная произведения:
$(f*g)' = f'g + f*g'$
Производная степенной функции:
$(x^n)' = n*x^{n-1}$

$((2x^4-3x^{-2})*(5x^7-2x^{-4}) )' = \\ \\ = (2x^4-3x^{-2})' *(5x^{7} -2x^{-4}) +(2x^{4}-3x^{-2})*(5x^7-2x^{-4})'= \\ \\ = (8x^3 +6x^{-3})*(5x^7-2x^{-4}) +(2x^4-3x^{-2})*(35x^6+8x^{-5})$

После раскрытия скобок и приведения подобных, получим:
$110x^{10} -75x^4 -36x^{-7}$

Есть другой способ - сначала раскрыть скобки, привести подобные, а уже потом брать производную:

$((2x^4-3x^{-2})*(5x^7-2x^{-4}) )' = (10x^{11} -4 - 15x^5 +6x^{-6} )' = \\ \\ 10*11*x^{11-1} - 4*0*x^{0-1} -15*5*x^{5-1} +6*(-6)*x^{-6-1} = \\ \\ =110x^{10} -0 -75x^4 -36x^{-7}$

Как видно, оба способа дают одинаковый результат. Иногда проще раскрыть скобки, а потом брать производную, иногда - наоборот.

Answer 2

Для нахождения производной выражения (2x^4-3x^-2)*(5x^7-2x^-4) можно использовать правило производной произведения двух функций.

Правило производной произведения функций состоит в умножении первой функции на производную второй функции, а затем прибавлении второй функции, умноженной на производную первой функции.

Давайте найдем производную каждой функции по отдельности и затем применим правило производной произведения.

Нахождение производной первой функции: Для выражения 2x^4-3x^-2 найдем производную каждого слагаемого.

Производная слагаемого 2x^4 будет равна 8x^3, так как мы умножаем показатель степени на коэффициент и уменьшаем показатель степени на 1.

Производная слагаемого -3x^-2 будет равна 6x^-3, так как мы умножаем показатель степени на коэффициент и уменьшаем показатель степени на 1.

Теперь у нас имеется производная первой функции: 8x^3 - 6x^-3.

Нахождение производной второй функции: Для выражения 5x^7-2x^-4 найдем производную каждого слагаемого.

Производная слагаемого 5x^7 будет равна 35x^6, так как мы умножаем показатель степени на коэффициент и уменьшаем показатель степени на 1.

Производная слагаемого -2x^-4 будет равна 8x^-5, так как мы умножаем показатель степени на коэффициент и уменьшаем показатель степени на 1.

Теперь у нас имеется производная второй функции: 35x^6 - 8x^-5.

Применение правила производной произведения: Теперь мы можем применить правило производной произведения для производных двух функций.

(производная первой функции) * (вторая функция) + (первая функция) * (производная второй функции)

= (8x^3 - 6x^-3) * (5x^7 - 2x^-4) + (2x^4 - 3x^-2) * (35x^6 - 8x^-5)

= (40x^10 - 16x^3 - 30x^4 + 12) + (70x^10 - 16x^3 - 105x^2 + 24x^-3)

= 110x^10 - 30x^4 - 105x^2 + 24x^-3 + 12

Таким образом, производная выражения (2x^4-3x^-2)*(5x^7-2x^-4) равна 110x^10 - 30x^4 - 105x^2 + 24x^-3 + 12.