Question

Довести нерівнюсть: (х-1)(х-2)(х-4)(х-6)+10>0. Буду благодарен. Просто перемножением ничего не выходит.

Answer 1

Если (х-1)(х-2)(х-4)(х-6)>0 то (х-1)(х-2)(х-4)(х-6)+
10>0
метод интервалов
__1____2_____4______6_______
+. -. + -. +
х€(-бес;1)+(2;4)+(6;+бес)
ответ (-бес;1)+(2;4)+(6;+бес)
проверка
х=0. (-1)(-2)(-4)(-6)+10=48+10=58>0
х1=3. 2•1(-1)(-3)+10=6+10=16>0
х2=7
(7-1)(7-2)(7-4)(7-6)+10=6•5•3•1+10=160>0

Answer 2

Рассмотрим функцию f(x)=(x-1)(x-3)(x-4)(x-6)-это парабола, но несколько особенная от квадратичной, смотри ее график...
если рассматривать твою задачу, то она сведется к нахождению х, при которых график f(x) лежит выше прямой у=-10
или (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)>-10-это же твое неравенство.
Как видно из графика-это неравенство справедливо для любого х.
Но это случайность... В общем случае как проводить исследование таких неравенств (я буду исследовать f(x) и потом проанализирую пересечение ее графика с прямой у=-10):
1) если у x^4 положителен коэффициент то ветви параболы направлены вверх
2)у f(x) хорошо видны нули функции -это х=1;3;4;6-значит между ними находятся экстремальные точки
3) минимум между 1 и 3, максимум между 3 и 4, минимум между 4 и 6
найти их нетрудно, это середины указанных интервалов-график же парабола, она симметрична. так как -10 находится внизу, значит буду анализировать минимумы
f(2)=1*(-1)(-2)(-4)=-8
f(5)=4*2*1*(-1)=-8
Если минимумы выше у=-10, то это говорит о том что лини двух графиков не пересекаются и неравенство справедливо для любого х
Ответ: x=(- беск;+беск)

Answer 3

Чтобы решить данное неравенство, можно использовать метод интервалов. Для начала найдем значения x, при которых выражение (х-1)(х-2)(х-4)(х-6) равно нулю:

(х-1)(х-2)(х-4)(х-6) = 0

То есть, один или несколько из множителей должны быть равны нулю. Решим уравнения:

х-1 = 0 => х = 1 х-2 = 0 => х = 2 х-4 = 0 => х = 4 х-6 = 0 => х = 6

Получили 4 значения x: 1, 2, 4 и 6. Теперь мы можем разбить число на интервалы, используя эти точки.

Интервалы: (-∞, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 6), (6, +∞)

Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим в исходное неравенство, чтобы определить знак выражения (х-1)(х-2)(х-4)(х-6) + 10:

(-∞, 1): выберем x = 0 (0-1)(0-2)(0-4)(0-6) + 10 = (-1)(-2)(-4)(-6) + 10 = -48 + 10 = -38 < 0

(1, 2): выберем x = 1.5 (1.5-1)(1.5-2)(1.5-4)(1.5-6) + 10 = (0.5)(-0.5)(-2.5)(-4.5) + 10 = 5.625 + 10 = 15.625 > 0

(2, 4): выберем x = 3 (3-1)(3-2)(3-4)(3-6) + 10 = (2)(1)(-1)(-3) + 10 = 6 + 10 = 16 > 0

(4, 6): выберем x = 5 (5-1)(5-2)(5-4)(5-6) + 10 = (4)(3)(1)(-1) + 10 = -12 + 10 = -2 < 0

(6, +∞): выберем x = 7 (7-1)(7-2)(7-4)(7-6) + 10 = (6)(5)(3)(1) + 10 = 90 + 10 = 100 > 0

Таким образом, неравенство (х-1)(х-2)(х-4)(х-6) + 10 > 0 выполняется на интервалах (1, 2) и (6, +∞). Ответом будет:

х ∈ (1, 2) ∪ (6, +∞)