Question

Геометрия. задача про равнобедренный треугольник:дан равнобедренный треугольник с основанием 12 см и углом при основании 30 градусов. найти боковую сторону, высоту, площадь треугольника.

Answer 1

Вот......... ........

Answer 2

Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 см и углом при основании 30 градусов. Давайте обозначим этот треугольник ABC, где AB = AC (основание), а угол BAC равен 30 градусам.

1. Найдем боковую сторону (BC) треугольника:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому у нас есть два угла по 30 градусов (BAC и BCA). Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол ABC равен 180 - 30 - 30 = 120 градусов.

Теперь у нас есть угол ABC и два равных отрезка AB и AC. Мы можем воспользоваться законом косинусов, чтобы найти длину боковой стороны BC: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(120^\circ).\]

Заметим, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\). Подставим известные значения: \[BC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right).\]

Вычислим это выражение: \[BC^2 = 144 + 144 + 144 = 432.\]

Теперь найдем длину BC: \[BC = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см}.\]

2. Найдем высоту треугольника (h) с вершины A до основания BC:

Разделим треугольник ABC на два равнобедренных треугольника ABD и ACD, где D - середина стороны BC.

Так как треугольник ABD - равнобедренный, высота AD является медианой и биссектрисой. Это делает AD также высотой, а BD и CD - равными отрезками.

Таким образом, треугольник ABD и ACD - равнобедренные. Мы можем использовать тот факт, что медиана в равнобедренном треугольнике также является биссектрисой, и, следовательно, делит угол при основании пополам. Таким образом, угол BAC делится на два угла BAD и CAD.

Угол BAC = 30 градусов, поэтому угол BAD и угол CAD равны по 15 градусов каждый.

Теперь у нас есть равнобедренные треугольники ABD и ACD с углами 15, 75, 90 градусов.

Высота AD является катетом в прямоугольном треугольнике ABD. Так как у нас есть угол 75 градусов, который лежит напротив AD, и угол 15 градусов, лежащий напротив BD, мы можем использовать тангенс угла:

\[\tan(75^\circ) = \frac{AD}{BD}.\]

Так как \(\tan(75^\circ) = \tan(90^\circ - 15^\circ) = \frac{1}{\tan(15^\circ)}\), мы можем переписать уравнение:

\[\frac{1}{\tan(15^\circ)} = \frac{AD}{BD}.\]

Решим это уравнение для AD:

\[AD = BD \cdot \frac{1}{\tan(15^\circ)}.\]

Теперь мы можем использовать тот факт, что BD - это половина стороны BC:

\[AD = \frac{BC}{2} \cdot \frac{1}{\tan(15^\circ)}.\]

Подставим известные значения:

\[AD = \frac{12\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\tan(15^\circ)}.\]

Вычислим это выражение, используя значение тангенса 15 градусов (приблизительно 0.27):

\[AD \approx \frac{12\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{0.27} \approx \frac{12\sqrt{3}}{0.54} \approx 22.22 \text{ см}.\]

Таким образом, высота треугольника равна примерно 22.22 см.

3. Найдем площадь треугольника (S):

Площадь треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). В данном случае, основание равно 12 см, а высота равна 22.22 см.

\[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 22.22 \approx 133.32 \text{ см}^2.\]

Таким образом, боковая сторона треугольника равна \(12\sqrt{3}\) см, высота - примерно 22.22 см, а площадь - примерно 133.32 см².