Question

Упростите выражение sin 90- tg(45° + a) tg(45+3a)

Answer 1

$sin90-tg(45+a)\cdot tg(45+3a)=1- \frac{1+tga}{1-1\cdot tga}\cdot \frac{1+tg3a}{1-1\cdot tg3a}=\\\\=\frac{1-tg3a-tga+tga\cdot tg3a-1-tg3a-tga-tga\cdot tg3a}{(1-tga)(1-tg3a)}=\frac{-2tg3a-2tga}{(1-tga)(1-tg3a)}=\\\\=\frac{-2(tg3a+tga)}{(1-tga)(1-tg3a)}=\frac{-2\cdot sin4a\cdot cosa\cdot cos3a}{cosa\cdot cos3a\cdot (cosa-sina)(cos3a-sin3a)}=\\\\=\frac{-2sin4a}{cosa\, cos3a-cosa\, sin3a-sina\, cos3a+sina\, sin3a}=\frac{-2sin4a}{cos2a-sin4a}$

Answer 2

Давайте разберем это выражение по частям и упростим.

1. sin 90° Синус 90° равен 1. Таким образом, мы можем заменить `sin 90°` на `1`.

2. tg(45° + a) Тангенс суммы двух углов равен отношению суммы тангенсов этих углов к разности единицы и произведения тангенсов этих углов. Используя эту формулу, мы можем записать `tg(45° + a)` как `(tg 45° + tg a) / (1 - tg 45° * tg a)`. Учитывая, что `tg 45°` равно 1, мы можем еще больше упростить это выражение до `(1 + tg a) / (1 - tg a)`.

3. tg(45° + 3a) Аналогично предыдущему пункту, мы можем записать `tg(45° + 3a)` как `(tg 45° + tg 3a) / (1 - tg 45° * tg 3a)`. Учитывая, что `tg 45°` равно 1, мы можем еще больше упростить это выражение до `(1 + tg 3a) / (1 - tg 3a)`.

Теперь, когда мы упростили все части исходного выражения, мы можем объединить их и упростить итоговое выражение:

sin 90° - tg(45° + a) + tg(45° + 3a)
= 1 - (1 + tg a) / (1 - tg a) + (1 + tg 3a) / (1 - tg 3a)

Для удобства, давайте объединим все дроби в одну:

= 1 - (1 + tg a)(1 - tg 3a) / (1 - tg a) + (1 + tg 3a)(1 - tg a) / (1 - tg 3a)

Теперь нам нужно умножить числитель в первой дроби на `(1 - tg a)` и числитель во второй дроби на `(1 - tg 3a)`:

= 1 - (1 + tg a - tg 3a - tg a * tg 3a) / (1 - tg a) + (1 + tg 3a - tg a - tg 3a * tg a) / (1 - tg 3a)

Далее, мы можем объединить числители и знаменатели:

= 1 - (1 - tg 3a - tg a * tg 3a) / (1 - tg a) + (1 - tg a - tg 3a * tg a) / (1 - tg 3a)

Теперь, мы можем объединить все дроби в одну:

= 1 - (1 - tg 3a - tg a * tg 3a + 1 - tg a - tg 3a * tg a) / (1 - tg a) (1 - tg 3a)

Теперь, объединим числители:

= 1 - (2 - 2tg 3a - 2tg a + 2tg a * tg 3a) / (1 - tg a) (1 - tg 3a)

Теперь, мы можем упростить числители и знаменатели:

= 1 - 2(1 - tg 3a - tg a + tg a * tg 3a) / (1 - tg a) (1 - tg 3a)
= 1 - 2(1 - tg a)(1 - tg 3a) / (1 - tg a) (1 - tg 3a)

Теперь заметим, что `(1 - tg a)` и `(1 - tg 3a)` в числителе и знаменателе сокращаются:

= 1 - 2
= -1

Итак, исходное выражение `sin 90° - tg(45° + a) + tg(45° + 3a)` упрощается до `-1`.