Question

Найдите наименьшее значение функции: кв корень из ( 10sin^2x + 3sinx + 1)

Answer 1

Решение на листочке.

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этим математическим вопросом. Давайте начнем с того, чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = \sqrt{10\sin^2(x) + 3\sin(x) + 1} \).

Нахождение минимального значения функции

Для начала, давайте обозначим \( y = \sin(x) \). Тогда у нас будет \( f(x) = \sqrt{10y^2 + 3y + 1} \).

Мы знаем, что квадратный корень является минимальным, когда выражение под корнем минимально. Чтобы найти минимальное значение этого выражения, мы можем воспользоваться тем, что квадратный корень является монотонно возрастающей функцией.

Нахождение минимального значения выражения

Для нахождения минимального значения выражения \( 10y^2 + 3y + 1 \) мы можем воспользоваться методом дифференциации. Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

Нахождение производной

\( f'(y) = 20y + 3 \)

Нахождение критических точек

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\( 20y + 3 = 0 \)

\( y = -\frac{3}{20} \)

Проверка на минимум

Для того чтобы убедиться, что это точка минимума, мы можем взять вторую производную \( f''(y) \) и проверить её значение в этой точке. Так как \( f''(y) = 20 \), и это значение положительное, то полученная точка \( y = -\frac{3}{20} \) является точкой минимума.

Подстановка обратно в исходное выражение

Теперь, когда мы нашли точку минимума для выражения \( 10y^2 + 3y + 1 \), мы можем подставить \( y = -\frac{3}{20} \) обратно в исходное выражение \( f(x) = \sqrt{10y^2 + 3y + 1} \) и найти минимальное значение функции \( f(x) \).

Ответ

Таким образом, минимальное значение функции \( f(x) \) равно:

\[ f(x) = \sqrt{10\left(-\frac{3}{20}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{20}\right) + 1} \]

\[ f(x) = \sqrt{\frac{9}{20} - \frac{9}{20} + 1} \]

\[ f(x) = \sqrt{1} \]

\[ f(x) = 1 \]

Ответ: Минимальное значение функции \( f(x) \) равно 1.