Question

Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющие центр в точке А. Вершина гиперболы 2x^2 - 9y^2=18 Точка А (0,4)

Answer 1

Приведем данную гиперболу к каноническому виду:
2x^2-9y^2=18
x^2/9-y^2/2=1
x^2/3^2-y^2/(sqrt(2))^2=1       (примечание: sqrt - квадратный корень)
Найдем вершины гиперболы:
y=0
x^2/9=1
x^2=9
x1=3       x2=-3
точки (-3;0) и (3;0) - вершины гиперболы
Найдем уравнение окружности, проходящей через точки (-3;0), (3;0) с центром в точке А(0;4):
уравнение окружности с центром в точке (0;0) имеет вид x^2+y^2=R^2 (R - радиус окружности)
центр заданной окружности смещен вдоль оси y вверх на 4, т.к. точка А имеет координаты (0;4):
x^2+(y+4)^2=R^2
По теореме Пифагора найдем радиус окружности:
R=sqrt((3-0)^2+(4-0)^2)=sqrt(9+16)=sqrt(25)=5

x^2+(y+4)^2=25 - уравнение заданной окружности.

Answer 2

Уравнение окружности с центром в точке А и проходящей через указанные точки можно записать в виде:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,

где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Так как точка А (0,4) является центром окружности, то координаты центра равны (a, b) = (0, 4).

Для определения радиуса r, подставим координаты другой точки, через которую проходит окружность. Пусть это будет точка (x1, y1).

(x1 - 0)^2 + (y1 - 4)^2 = r^2.

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точку А (0,4) и точку (x1, y1), и имеющей центр в точке А, будет иметь вид:

(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = (x1 - 0)^2 + (y1 - 4)^2.

Теперь рассмотрим уравнение гиперболы 2x^2 - 9y^2 = 18.

Уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду, разделив оба члена на 18:

(2x^2)/18 - (9y^2)/18 = 18/18.

x^2/9 - y^2/2 = 1.

Из данного уравнения видно, что квадраты коэффициентов при x и y равны 9 и 2 соответственно. Это означает, что оси гиперболы параллельны осям координат.

Вершина гиперболы находится при x = 0 и y = 0, так как при этих значениях уравнение принимает вид 0/9 - 0/2 = 1.

Таким образом, вершина гиперболы имеет координаты (0, 0).

Итак, у нас есть точка А (0,4), которая является центром окружности, и вершина гиперболы (0, 0).

Так как центр окружности совпадает с вершиной гиперболы, уравнение окружности будет иметь вид:

(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = (x1 - 0)^2 + (y1 - 4)^2.

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид:

x^2 + (y - 4)^2 = (x1^2 + (y1 - 4)^2).

Где (x1, y1) - координаты точки, через которую проходит окружность и не совпадает с центром.