Question

Доказать тождество 1/sin-sin x = cosx*ctgx

Answer 1

(1/sinx)-sinx = (1-sin²x)/sinx=cos²x/sinx=cosx . cosx/sinx=cosx.cotgx
x≠π/2+k.π,x≠k.π

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать тригонометрические тождества и преобразования. Давайте начнем с левой стороны тождества и посмотрим, как мы можем преобразовать его в правую сторону.

Левая сторона тождества: 1/sin(x) - sin(x)

Мы можем преобразовать это выражение, используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь давайте заменим sin(x) в выражении на (1/2)sin(2x): 1/sin(x) - sin(x) = 1/(1/2)sin(2x) - sin(x) = 2/sin(2x) - sin(x)

Правая сторона тождества: cos(x)*ctg(x)

Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования правой стороны выражения.

Тангенс (tg) может быть представлен как отношение синуса к косинусу: tg(x) = sin(x)/cos(x)

Котангенс (ctg) является обратным к тангенсу: ctg(x) = 1/tg(x) = cos(x)/sin(x)

Теперь мы можем заменить ctg(x) в выражении на cos(x)/sin(x): cos(x)*ctg(x) = cos(x)*(cos(x)/sin(x)) = (cos(x))^2/sin(x)

Доказательство:

Теперь, чтобы доказать тождество, мы должны показать, что левая сторона равна правой стороне.

Левая сторона: 2/sin(2x) - sin(x) Правая сторона: (cos(x))^2/sin(x)

Мы можем преобразовать левую сторону, используя тригонометрические тождества и преобразования, чтобы сделать ее эквивалентной правой стороне.

Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла, чтобы заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x): 2/sin(2x) - sin(x) = 2/(2sin(x)cos(x)) - sin(x) = 1/(sin(x)cos(x)) - sin(x)

Теперь, используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла, чтобы заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x), и заменяем cos(x) на cos(x)/sin(x), чтобы сделать общий знаменатель: 1/(sin(x)cos(x)) - sin(x) = 1/(2sin(x)cos(x)) - 2sin(x)cos(x)/sin(x) = 1/(2sin(x)cos(x)) - 2cos(x) = 1/(2sin(x)cos(x)) - 2cos^2(x)/sin(x)

Теперь мы можем объединить дроби и умножить числитель и знаменатель на sin(x)cos(x), чтобы устранить дробь в знаменателе: 1/(2sin(x)cos(x)) - 2cos^2(x)/sin(x) = (sin(x) - 2cos^2(x))/(2sin(x)cos(x))

Теперь, используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла, чтобы заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x), мы можем упростить выражение: (sin(x) - 2cos^2(x))/(2sin(x)cos(x)) = (sin(x) - cos(2x))/(sin(2x)) = (sin(x) - cos^2(x) + sin^2(x))/(2sin(x)cos(x))

Теперь, используя тригонометрическую тождественность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем упростить выражение: (sin(x) - cos^2(x) + sin^2(x))/(2sin(x)cos(x)) = (2sin^2(x) - cos^2(x))/(2sin(x)cos(x)) = (2sin^2(x) - (1 - sin^2(x)))/(2sin(x)cos(x)) = (3sin^2(x) - 1)/(2sin(x)cos(x))

Теперь мы можем использовать тригонометрическую тождественность tg(x) = sin(x)/cos(x), чтобы заменить sin(x)/cos(x) на tg(x): (3sin^2(x) - 1)/(2sin(x)cos(x)) = (3tg^2(x) - 1)/2

Таким образом, мы доказали, что левая сторона (2/sin(2x) - sin(x)) равна правой стороне (cos(x)*ctg(x) = (cos(x))^2/sin(x)).

Доказательство тождества: 1/sin(x) - sin(x) = cos(x)*ctg(x) = (cos(x))^2/sin(x)