Question

Исследования функции y=x-1/x

Answer 1

Y=1-4
1-6
1-45
x=67
12=56789034567890

Answer 2

Функция y = x - 1/x является рациональной функцией. Рациональная функция определена как отношение двух многочленов, где в данном случае числительом является многочлен первой степени x, а знаменателем - константа 1/x.

При анализе функции y = x - 1/x можно провести следующие исследования:

1. Определение области определения: функция определена для любого значения x, кроме x = 0, так как в этом случае знаменатель обращается в ноль.

2. Поведение функции при x -> +∞ и x -> -∞: при x -> +∞ и x -> -∞ функция стремится к плюс или минус бесконечности, так как при больших значениях аргумента значение функции будет определяться в основном числителем x, а знаменатель 1/x будет стремиться к нулю.

3. Нули функции: чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение x - 1/x = 0. Путем перемещения члена 1/x влево и умножения обеих сторон на x получим квадратное уравнение x^2 - 1 = 0. Решив его, получим два корня: x = 1 и x = -1. Таким образом, функция имеет два нуля: x = 1 и x = -1.

4. Производная функции: чтобы найти производную функции y = x - 1/x, необходимо применить правило дифференцирования для суммы и разности функций. Производная будет равна 1 - (-1/x^2) = 1 + 1/x^2.

5. Исследование экстремумов: чтобы найти точки экстремума функции, необходимо приравнять производную к нулю и решить уравнение 1 + 1/x^2 = 0. Умножим обе стороны на x^2, получим x^2 + 1 = 0. Однако это уравнение не имеет действительных корней, поэтому функция не имеет точек экстремума.

6. Исследование на возрастание и убывание: так как производная функции y = x - 1/x равна 1 + 1/x^2, то она всегда положительна для любого значения x, кроме x = 0. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей области определения.

7. Исследование на выпуклость и вогнутость: чтобы найти точки перегиба функции, необходимо найти вторую производную. Взяв производную от производной, получим вторую производную функции: d^2y/dx^2 = -2/x^3. Так как вторая производная всегда отрицательна для любого значения x, кроме x = 0, то функция является выпуклой вниз на всей области определения.

Таким образом, проведя исследование функции y = x - 1/x, мы определили ее область определения, поведение при стремлении аргумента к бесконечности, нули, производную, экстремумы, возрастание и убывание, а также выпуклость и вогнутость.